N wagonów , K pasażerów.

[Rudis]

Do pociągu składającego siez n wagonó wsiada k psażerów.Oblicz prawdopodbieństwo, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer.(A)

Podobne zadanie pojawiło sie na tym forum ale bez kompletnej odpowiedzi.

(Zakładam że k >n . W przypadku k=n zdarzenie ma moc n!)

Na samym początku rozwiązałem je w ten sposób :

Moc zdarzenia A:

\(\displaystyle{ n! \cdot n^{k-n}}\)

Jednak ktoś mi uświadomił , że zliczam po kilka razy te same zdarzenia.
Najbardziej przeraża mnie fakt ,że potrafię stworzyć przykład który obala moje obliczenia a mimo tego caly czas wydaję mi sie ,że myślę dobrze i powyższy wzór powinien działać.Nie mam pomysłu.

[Adifek]

Policz prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego, tj. że zostanie co najmniej jeden pusty wagon.

[Rudis]

Czyli rozumiem , że mam rozmieścić k pasażerów na (n-1)miejscach.Do tego wybieram wagon o którym zakładam , że jest pusty?

\(\displaystyle{ (n-1) ^{k}{n\choose 1}}\) ?

Czy to opisuje zdarzenie przeciwne?

[Kacperdev]

tak.

[Adifek]

Chyba nie. Bo będziesz wielokrotnie liczył te same przypadki. Jak dla mnie to

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} {n \choose i} {(k-i)-1 \choose (n-i)-1} ,}\)

czyli \(\displaystyle{ i}\) wagonów pustych, a w pozostałych \(\displaystyle{ n-i}\) umieszczamy pasażerów.

[Kacperdev]

Hmm... no nie wiem. Wydaje mi się, że gdy bedziemy rozróżniali zarówno pasażerów jak i wagony czyli moc omegi przyjmiemy \(\displaystyle{ n^{k}}\) to moc zdarzenia przeciwnego bedzie taka jak kolega napisał.

Ale oczywiście głowy nie dam. : )

[Adifek]

Jak bierzesz \(\displaystyle{ (n-1)^k}\) to dowolnie wrzucasz pasażerów do wagonów. W szczególności wrzucisz ich wszystkich np. do ostatniego wagonu. I w ten sposób możesz ich wrzucić tak samo zarówno wyróżniając pierwszy jak i drugi jak i \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wszy wagonik.

[Kacperdev]

No racja! ; )
Zbyt prosto, żeby nie powiedzieć prostacko, chciałem rozwiązać ten problem.

[Rudis]

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1} {n \choose i} {(k-i)-1 \choose (n-i)-1}}\)

Na prostych przypadkach działa.

https://www.matematyka.pl/294154.htm - niemal identyczny temat.Może się komuś przyda

Natomiast ja chciałbym zapytać autora powyższego wzoru co oznacza składnik:


\(\displaystyle{ {(k-i)-1 \choose (n-i)-1}}\).

Skąd wzieło się (k-i)-1 ; (n-i)-1
Jak do tego dojść?

[Adifek]

W poprzedniej wypowiedzi się pomyliłem.

Drugi składnik to powinna być ilość kombinacji \(\displaystyle{ a_{1}, ..., a_{n-i}}\) liczb naturalnych dodatnich takich, że \(\displaystyle{ a_1+ ...+a_{n-i}=k}\).

Takich kombinacji jest \(\displaystyle{ {(k+(n-i))-(n-i) \choose (n-i)} = {k \choose n-i}}\).

Już tłumaczę dlaczego. Jeśli odrzucimy założenie dodatniości liczb (tj. dopuszczamy zera), to problem sprowadza się do ilości sposobów, a które można przemierzyć kratę rozmiaru \(\displaystyle{ l\times m}\) z lewego dolnego do prawego górnego rogu. Każda taka droga ma \(\displaystyle{ l}\) kroków w górę i \(\displaystyle{ m}\) kroków w prawo. Zatem ilość dróg jest wyznaczona przez miejsca, w których zmieniamy kierunek, więc jest ich \(\displaystyle{ {m+l \choose l}}\). U nas \(\displaystyle{ m=k}\) oraz \(\displaystyle{ l=n-i}\). Ale u nas chcemy, żeby każdy wagonik miał co najmniej jednego pasażera. Stąd musimy od puli pasażerów odjąć \(\displaystyle{ n-i}\), bo tylu pasażerów jest jakby rozstawionych.

Ogólnie trudno to wytłumaczyć. Najlepiej samemu sobie rozpisać jakieś proste przykłady i zobaczyć, że działa.

[Rudis]

Dziękuję.