ciągła zmienna losowa- f. gestości z parametrem

[adix1]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ k}\), funkcja:



\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \quad x< -1\\ k(1- {x}^4 ) \quad -1<x<1 \\ 0 \quad x >1 \end{cases}}\)

są funkcjami gęstości zmiennej losowej? Po wyznaczeniu parametru \(\displaystyle{ k}\), wyznacz podstawowe parametry i prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p( x < - 0,5)}\).

i tu nasuwa mi się pytanie. Czy \(\displaystyle{ k}\) istnieje w tym przedziale?

[Gadziu]

Tak na początku to zobaczy, czy aby na pewno przepisałeś dobrze przykład, bo funkcja jest nie określona dla \(\displaystyle{ x=0 \wedge x=2}\), a w takim wypadku od razu piszemy, że nie jest to funkcja gęstości.

Jeśli się pomyliłeś w przepisywaniu to: Musisz wykorzystać oba warunki istnienia f. gęstości, czyli \(\displaystyle{ \int f(x) \mbox{d}x =1 \wedge f(x) \ge 0}\). W tym wypadku proponuję zacząć od policzenia całki, z niej otrzymasz \(\displaystyle{ k}\), które później sprawdzisz z drugim warunkiem, jeśli funkcja będzie nieujemna w przedziale \(\displaystyle{ 0<x<2}\) to jest ok. Aha, no i \(\displaystyle{ k}\) może być dowolną liczbą rzeczywistą, nie tylko tą z przedziału \(\displaystyle{ 0<x<2}\)

[adix1]

edytowałem dane, bo wydaje mi się, że ktoś namieszał.
\(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\) , nie wiem czy dobrze. Dystrybuanta wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)\(\displaystyle{ ( x^{2}}\) \(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ \frac{1}{5}}\) \(\displaystyle{ x^{6})}\) \(\displaystyle{ -}\)\(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\).

[Gadziu]

Nadal funkcja nie jest określona dla tym razem \(\displaystyle{ x=-1 \wedge x=1}\), ale nawet jeśli to źle policzyłeś całkę. Całka \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1} 1-x^{4} \mbox{d}x = \frac{8}{5} \Rightarrow k= \frac{5}{8}}\)

[adix1]

czyli dystrybuanta wynosi: \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\)\(\displaystyle{ (x- \frac{1}{5} x^{5})}\) ?

[Gadziu]

A sprawdziłeś drugi warunek?