Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.
Mamy dwa pojemniki z białymi i czarnymi kulami. W pierwszej pojemniku jest pięć kul białych i cztery czarne, a w drugiej jest 40-n kul białych i 20 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że będzie to kula czarna.
Proszę o szczegółowe wyjaśnienie jak rozwiązać to zadanie. Z tego działu jestem noga.
Pojemniki z kulami
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Pojemniki z kulami
Zastosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite (zupełne):
\(\displaystyle{ Pr(C) = Pr(I)\cdot Pr(C|I)+ Pr(II)\cdot Pr(C|II),}\)
\(\displaystyle{ Pr(C)= \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9}+\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{60-n}, n\leq 40}\)
\(\displaystyle{ Pr(C) = Pr(I)\cdot Pr(C|I)+ Pr(II)\cdot Pr(C|II),}\)
\(\displaystyle{ Pr(C)= \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9}+\frac{1}{2}\cdot \frac{20}{60-n}, n\leq 40}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Pojemniki z kulami
Trzeba skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Oznaczmy:
\(\displaystyle{ A_1}\) - wylosujemy pierwszy pojemnik, \(\displaystyle{ P(A_1)=\frac12}\)
\(\displaystyle{ A_2}\) - wylosujemy drugi pojemnik, \(\displaystyle{ P(A_2)=\frac12}\)
\(\displaystyle{ B}\) - wylosujemy kulę czarną - szukane prawdopodobieństwo.
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}\)
Dodatkowo obliczamy
\(\displaystyle{ P(B|A_1)=\frac49}\) - prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej pod warunkiem, że losujemy z pierwszego pojemnika
\(\displaystyle{ P(B|A_2)=\frac{20}{60-n}}\)- prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej pod warunkiem, że losujemy z drugiego pojemnika
Ostatecznie dostajemy
\(\displaystyle{ P(B)=\frac12\cdot\frac49+\frac12\cdot\frac{20}{60-n}}\)
gdzie oczywiście \(\displaystyle{ n\le40}\)
Trochę dziwne jest to \(\displaystyle{ n}\), czy to jakiś parametr ma być? Czy to prawdopodobieństwo ma spełniać jakiś warunek? Chyba nie podałeś całego zadania, albo zapisałeś zadanie z błędem w treści.
\(\displaystyle{ A_1}\) - wylosujemy pierwszy pojemnik, \(\displaystyle{ P(A_1)=\frac12}\)
\(\displaystyle{ A_2}\) - wylosujemy drugi pojemnik, \(\displaystyle{ P(A_2)=\frac12}\)
\(\displaystyle{ B}\) - wylosujemy kulę czarną - szukane prawdopodobieństwo.
Mamy wtedy
\(\displaystyle{ P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)}\)
Dodatkowo obliczamy
\(\displaystyle{ P(B|A_1)=\frac49}\) - prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej pod warunkiem, że losujemy z pierwszego pojemnika
\(\displaystyle{ P(B|A_2)=\frac{20}{60-n}}\)- prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej pod warunkiem, że losujemy z drugiego pojemnika
Ostatecznie dostajemy
\(\displaystyle{ P(B)=\frac12\cdot\frac49+\frac12\cdot\frac{20}{60-n}}\)
gdzie oczywiście \(\displaystyle{ n\le40}\)
Trochę dziwne jest to \(\displaystyle{ n}\), czy to jakiś parametr ma być? Czy to prawdopodobieństwo ma spełniać jakiś warunek? Chyba nie podałeś całego zadania, albo zapisałeś zadanie z błędem w treści.