losujemy punkt z (0,1) zgodnie z rozkładem jednostajnym.

[paula17]

losujemy punkt z (0,1) zgodnie z rozkładem jednostajnym.
ten punkt dzieli odcinek na dwie części.
policzyć wartość oczekiwaną stosunku części krótszej do dłuższej.


\(\displaystyle{ \int_0^{1/2}x\cdot\frac{x}{1-x}dx + \int_0^{1/2}x\cdot\frac{1-x}{x}dx}\)
czy to będzie coś takiego?

[norwimaj]

Nie. Znasz gęstość tego rozkładu?

[drunkard]

Żeby znaleźć gęstość, trzeba by znaleźć najpierw dystrybuantę, ale żeby ją znaleźć (zeby niepotrzebnie nie liczyć dwa razy tego samego) warto najpierw założyć, że wylosowana liczba jest z rozkładu jednostajnego (0, 1/2) bo liczymy i tak iloraz krótszej części do dłuższej.

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F(y)=P(Y<y)=P(\frac{x}{1-x}<y)=...=P(x<\frac{y}{y+1})=\frac{y}{y+1}}\) a dokładniej, po uwzględnieniu przyjętego uproszczenia jest to \(\displaystyle{ \frac{2y}{y+1}=2-\frac{2}{y+1}}\)

Gęstość:
\(\displaystyle{ f(y)=F'(y)=(\frac{2}{y+1})^2}\)

Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ EY=\int\limits_{0}^{1}y(\frac{2}{y+1})^2 dy}\)

Po scałkowaniu przez części wyszło mi -1 + 2ln2 tj. około 0.386

[norwimaj]

Widzę że bardzo się napracowałeś. Ja tylko chciałem zapytać Paulę, czy zna gęstość rozkładu jednostajnego. Ale skoro już przeszliśmy na gotowce, to proszę:

\(\displaystyle{ 2\int_0^{\frac12}\frac{x}{1-x}\mathrm{d}x = 2\int_0^{\frac12}\left(\frac1{1-x}-1\right)\mathrm{d}x= 2\ln2-1.}\)

[paula17]

już rozumiem, dzięki chłopaki

[54321]

Czy mógłby mi ktoś pwiedziec dlaczego to przyjęte uproszczenie tak wpłynęło na \(\displaystyle{ \frac{y}{y+1}}\)?