Rozpatrzmy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p. Jaka jest średnia liczba sukcesów w pierwszej próbie, jeśli wiemy, ile zaszło sukcesów w całej serii?
\(\displaystyle{ E(x_1|S_n)=\frac{P(x_1=1,S_n=n)}{P(S_n=n)}=}\) i jak to teraz obliczyć?
Warunkowa wartość oczekiwana
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \EE (X_1 | S_n = k ) = \frac{P(X_1 = 1 ,S_n = k )}{(S_n = k)}}\)
ale \(\displaystyle{ S_n = X_1 + ... + X_n}\) , więc
\(\displaystyle{ \EE (X_1 | S_n = k ) = \frac{P(X_1=1, X_2+...+X_n = k-1 )}{(S_n = k)} = \frac{P(X_1=1)P( X_2+...+X_n = k-1) }{(S_n = k)}= \frac{ p{n-1 \choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} }{ {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}} = \frac{(n-1)!k!(n-k)!}{n!(k-1)!(n-k)!} = \frac{k}{n}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \EE (X_1 |S_n) = \frac{S_n}{n}}\)
ale \(\displaystyle{ S_n = X_1 + ... + X_n}\) , więc
\(\displaystyle{ \EE (X_1 | S_n = k ) = \frac{P(X_1=1, X_2+...+X_n = k-1 )}{(S_n = k)} = \frac{P(X_1=1)P( X_2+...+X_n = k-1) }{(S_n = k)}= \frac{ p{n-1 \choose k-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k} }{ {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}} = \frac{(n-1)!k!(n-k)!}{n!(k-1)!(n-k)!} = \frac{k}{n}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \EE (X_1 |S_n) = \frac{S_n}{n}}\)