Obliczyć wartość oczekiwaną o rozkładzie geometrycznym

[cargt3]

Witam,

Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej X o rozkładzie geometrycznym
\(\displaystyle{ P(X = k) = p (1 - p)^{ k-1}, k = 1,2,3, . . ..}\)

Mam takie zadanie i nie mam pojęcia jak je rozwiązać. Byłbym bardzo wdzięczny o pomoc lub jakiekolwiek wskazówki.

pozdrawiam

[miodzio1988]

Z definicji to zrób. jak ta definicja wygląda?

[lukasz1804]

Oprócz definicji wartości oczekiwanej dla zmiennej losowej typu dyskretnego przyda się jeszcze wzór na sumę wyrazów zbieżnego szeregu geometrycznego oraz twierdzenie o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego.

[cargt3]

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{k = 0}^{ \infty } k \cdot p \cdot (1-p)^{k-1}}\)

Mam nadzieję że dobrze podstawiłem. Siedzę nad tym zadaniem już dłuższy czas i nie mam pojęcia co dalej zrobić.

[lukasz1804]

Formalnie powinieneś zacząć sumowanie od \(\displaystyle{ k=1}\), bo zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartości całkowite dodatnie.

Ze znanego wzoru na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego mamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}x^k=\frac{x}{1-x}}\) (oczywiście przy warunku \(\displaystyle{ |x|<1}\)).
Co więcej, suma szeregu jest funkcją różniczkowalną wewnątrz przedziału zbieżności, tj. dla \(\displaystyle{ |x|<1}\), i jej pochodna jest sumą szeregu pochodnych funkcji \(\displaystyle{ x^k}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,\ldots}\). Zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}(x^k)'=\left(\frac{x}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 1-p\in(0,1)\subset(-1,1)}\), to mamy w szczególności

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}kp(1-p)^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}=p\cdot\frac{1}{[1-(1-p)]^2}=\frac{1}{p}}\).