Rozkład Poissona na podstawie rozkładu Bernoulliego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
dwukwiat15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 246
Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krobia
Podziękował: 42 razy

Rozkład Poissona na podstawie rozkładu Bernoulliego

Post autor: dwukwiat15 »

Witam,
Mam oto taki problem:
Zakładam pewne zdarzenie losowe, które polega na tym, że w danym okresie czasu w dużym mieście nadchodzą na posterunek Policji telefony. Rozważam pewien okres, który charakteryzuję parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\),określa on średnią liczbę telefonów na minutę, które nadeszły w odcinku czasu. Powiedzmy w godzinach od 16:00 do 19:00 po południu. Teraz jeżeli założyć, że dzielimy okres czasu w którym rozważamy zdarzenie na \(\displaystyle{ n}\) bardzo krótkich przedziałów czasowych, to można przyjąć, że prawdopodobieństwo, że w każdym z tych bardzo krótkich interwałów czasowych została wykonana większa liczba połączeń niż jedno jest tak małe, że można je pominąc. Tym samym można założyć, że zaszło 1 połączenie lub nie było go w ogóle. Zatem można zamodelować to zjawisko rozkładem dwumianowym(Bernoulliego). Określam sobie przez \(\displaystyle{ X}\) zmienną losową, która oznacza liczbę otrzymanych telefonów w przyjętym okresie czasu. Korzystając z Centralnego twierdzenia granicznego wiadomo, że wartość oczekiwana(średnia dla dużej liczby zdarzeń \(\displaystyle{ n}\)) w rozkładzie bernoulliego równa jest \(\displaystyle{ n \cdot p}\). Z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ p = \frac {\lambda}{n}}\)

Z rozkładu dwumianowego wiemy, że:


\(\displaystyle{ b(n,p,k) = P(X=k) = {n\choose k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}}\)

I teraz liczę \(\displaystyle{ P(X=0) = b(n,p,0) = (1-p)^{n} = (1- \frac {\lambda}{n})^{n} = e^{-\lambda}}\)
Następnie liczę sobie \(\displaystyle{ P(X=1)}\)
i robię to w następujący sposób, że wyliczam stosunek:

\(\displaystyle{ \frac {b(n,p,k)}{b(n,p,k-1)}= \frac{ \lambda - (k-1)p}{kq}}\), przy czym z faktu, że \(\displaystyle{ n}\) jest bardzo duże to implikuje to fakt, że
\(\displaystyle{ p}\) jest bardzo małe. Więc ten stosunek uprości się do wyrażenia \(\displaystyle{ \frac {\lambda }{k}}\) Stąd można wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ P(X=1) = b(p,n,1) = b(n,p,0) \cdot \lambda =e^{-\lambda} \cdot \lambda}\)

Teraz pytanie jak analogicznie przez takie rozumowanie udowodnić, że

\(\displaystyle{ P(X=k) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}}\)
Ktoś potrafi to napisać? Pokazać jak to przekształca poprzez analogię?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Rozkład Poissona na podstawie rozkładu Bernoulliego

Post autor: Adifek »

ODPOWIEDZ