Kasia rzuca 3 razy monetą i informuje Karolinę, ile wypadło orłów. Opisz sigma-algebrę odpowiadającą temu eksperymentowi z punktu widzenia Karoliny.
Proszę o pomoc.
Doświadczenie - sigma-algebra
-
szw1710
Doświadczenie - sigma-algebra
Np. tak: \(\displaystyle{ \Omega=\{0,1,2,3\}}\), \(\displaystyle{ \Sigma=2^{\Omega}}\), \(\displaystyle{ P(\{0\})=P(\{3\})=\frac{1}{8}}\), \(\displaystyle{ P(\{1\})=P(\{2\})=\frac{3}{8}}\). Mamy tu przestrzeń probabilistyczną \(\displaystyle{ (\Omega,\Sigma,P)}\) Sigma-algebrą zdarzeń jest tu \(\displaystyle{ 2^{\Omega}\) czyli rodzina wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\).
Tak naprawdę określona tu została zmienna losowa. Kasia robi doświadczenie oparte na trzykrotnym rzucie monetą. Ma przestrzeń \(\displaystyle{ \{\Omega_K=\bigl\{\{O,R\}\times\{O,R\}\times\{O,R\}\bigr\}}\), \(\displaystyle{ \Sigma_K=2^{\Omega_K}}\) oraz \(\displaystyle{ P\bigl((a,b,c)\bigr)=\frac{1}{8}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\Omega_K}\). Zmienna \(\displaystyle{ X}\) określona na \(\displaystyle{ \Omega_K}\) to liczba wyrzuconych orłów czyli liczba liter \(\displaystyle{ O}\) w ciągu \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\Omega_K}\). Uważaj, bo tutaj \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie oznaczają nic więcej jak tylko \(\displaystyle{ O}\) albo \(\displaystyle{ R}\). Więc rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) dany jest funkcją prawdopodobieństwa postaci \(\displaystyle{ \left(0,\frac{1}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(1,\frac{3}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(2,\frac{3}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(3,\frac{1}{8}\right)}\). Zauważ że ten rozkład odpowiada doświadczeniu z punktu widzenia Karoliny. I niewątpliwie ten opis jest mi bliższy.
Tak naprawdę określona tu została zmienna losowa. Kasia robi doświadczenie oparte na trzykrotnym rzucie monetą. Ma przestrzeń \(\displaystyle{ \{\Omega_K=\bigl\{\{O,R\}\times\{O,R\}\times\{O,R\}\bigr\}}\), \(\displaystyle{ \Sigma_K=2^{\Omega_K}}\) oraz \(\displaystyle{ P\bigl((a,b,c)\bigr)=\frac{1}{8}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\Omega_K}\). Zmienna \(\displaystyle{ X}\) określona na \(\displaystyle{ \Omega_K}\) to liczba wyrzuconych orłów czyli liczba liter \(\displaystyle{ O}\) w ciągu \(\displaystyle{ (a,b,c)\in\Omega_K}\). Uważaj, bo tutaj \(\displaystyle{ a,b,c}\) nie oznaczają nic więcej jak tylko \(\displaystyle{ O}\) albo \(\displaystyle{ R}\). Więc rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\) dany jest funkcją prawdopodobieństwa postaci \(\displaystyle{ \left(0,\frac{1}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(1,\frac{3}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(2,\frac{3}{8}\right)}\), \(\displaystyle{ \left(3,\frac{1}{8}\right)}\). Zauważ że ten rozkład odpowiada doświadczeniu z punktu widzenia Karoliny. I niewątpliwie ten opis jest mi bliższy.