Wartość oczekiwana i wariancja, rozkład jednostajny

[Teano]

Losujemy niezależnie od siebie dwie liczby \(\displaystyle{ x, y}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\). Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja \(\displaystyle{ x - y}\)?

Proszę o pomoc.

[sebnorth]

EX - wartość oczekiwana, \(\displaystyle{ EX = \int_{R} x\cdot f(x) dx}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) - gęstość rozkładu jednostajnego

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1, \; 0 \le x \le 1 \\ 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ EX = \int_{0}^{1} x\cdot 1 dx = [ \frac{1}{2} x^2 ]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{1}{2}}\)

X,Y - zmienne losowe, wtedy \(\displaystyle{ E(X-Y) = EX - EY}\)

u nas \(\displaystyle{ E(X-Y) = EX - EY = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0}\)

X,Y - zmienne losowe niezależne, wtedy \(\displaystyle{ D^2 (X-Y) = D^2 X + D^2 Y, \; D^2 X}\) wariancja

\(\displaystyle{ D^2 X = \int_{0}^{1} (x - EX)^2 \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} (x- \frac{1}{2} )^2 dx =}\)

\(\displaystyle{ = \int_{0}^{1} x^2 - x + \frac{1}{4} dx = [ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x ]_{0}^{1} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - (0-0+0) = \frac{1}{6}}\)

[zagazaga]

Dlaczego mamy taką równość?
\(\displaystyle{ D^2 (X-Y) = D^2 X + D^2 Y}\)

[sebnorth]

na dole w linku: