Sprawdzenie wyników - Bernouliego

[ciumcia]

Czy ktoś mógłby przejrzeć zadania czy są prawidłowo rozwiązane ?

Zadanie 1
A. W kazdej z trzech urn typu A znajduja sie 4 białe, 3 czarne i 3 czerwone kule. W kazdej z pieciu
urn typu B znajduja sie 2 białe, 6 czarnych i 2 czerwone kule. Losujemy \(\displaystyle{ 4}\) razy urne (typu A lub B,
kazda z prawdopodobienstwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)) i za każdym razem z wylosowanej urny losujemy jedna kule (po losowaniu kule zwracamy do urny).
Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia polegajacego na tym, ze
a) co najwyzej dwa razy wylosujemy kule biała,
b) dokładnie jeden raz wylosujemy kule czerwona,
c) dokładnie dwa razy wylosujemy kule czarna?

Moje odpowiedzi:

a) szansa na wylosowanie kuli białej wynosi w jednym losowaniu wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{10} = \frac{3}{10}}\)
Nasz warunek spełnia się gdy wylosujemy jedną kulę białą albo 2 białe.
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10}\cdot \frac{7}{10} \cdot\frac{7}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10}= 0.147}\)

b) szansa na wylosowanie kuli czerwonej wynosi w jednym losowaniu wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{10} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{4}\cdot(\frac{3}{4})^{3} = 0.10546875}\)

c) Analogicznie
\(\displaystyle{ P(C) = \frac{2}{5} \cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}= 0.0576}\)

Czy nie powinienem jeszcze pomnożyć pod koniec obliczania prawdopodobieństwa razy ilość możliwości ustawienia kul czyli w podpunkcie a) o 10 razy b) o 4 razy c) o 6 razy ?

B. 80% baterii produkowanych w pewnej fabryce jest klasy A. Ile nalezy kupic baterii, aby prawdopodobienstwo
zdarzenia polegajacego na tym, ze przynajmniej jedna z nich jest klasy A, było nie
mniejsze niz 0, 95?
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ p=\frac{4}{5}\newline
S>=1\newline
P(S>=1)>=0.95\newline
P(S=1)+P(S=2)+P(S=3)+P(S=n) >= 0.95\newline
1-P(S=0) >= 0.95\newline
1 -{n\choose 0}\cdot(\frac{4}{5})^0 \cdot (\frac{1}{5})^n >= 0.95\newline
1 -(\frac{1}{5})^n >= 0.95\newline
-(\frac{1}{5})^n >= -0.05\\
(\frac{1}{5})^n >= 0.05\\
\ln(\frac{1}{5})^n <= ln(0.05)\\
n*\ln(\frac{1}{5})^n >= ln(0.05)\\
n >= \frac{ln(0.05)}{ln(\frac{1}{5})}\\
n >= 1.86135\\}\)
Trzeba kupić przynajmniej 2 baterie.

C. Centrala abonencka obsługuje 20 telefonów wewnetrznych. Prawdopodobienstwo prawdopodobienstwo
zdarzenia polegajacego na tym, ze w ciagu T minut zadzwoni interesant wynosi 0, 4. Które ze
zdarzen jest bardziej prawdopodobne: W ciagu T minut zadzwoni 5 abonentów, czy w ciagu T minut
zadzwoni 11 abonentów?
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ P(k=5)= {20 \choose 5} \cdot 0.4^{5} \cdot 0.6 ^{15}\\
P(k=11)= {20 \choose 11} \cdot 0.4^{11} \cdot 0.6 ^{9}\\
k = 5, 0.074647\\
k = 11, 0.0709949\\}\)
Dla T minut jest większe prawdopodobieństwo że zadzwoni 5 abonamentów

D. Prawdopodobienstwo wymiany lampy elektronowej w czasie okresowej kontroli urzadzenia elektrycznego
wynosi 0, 2. Urzadzenie to posiada 15 lamp. Jakie jest prawdopodobienstwo zdarzenia polegajacego
na tym, ze w czasie kontroli zostanie wymienionych:
a) dokładnie 10 lamp,
b) dokładnie 6 lamp,
c) co najwyzej 3 lampy?
Odpowiedź:
a)
\(\displaystyle{ P(X=10)=\frac{(1.6)^{10}}{10!}\cdot (e)^{-1.6} = 26.11738 \cdot 10^{-6} = 0.00000611738}\)
b)
\(\displaystyle{ P(X=6)=\frac{(1.6)^{6}}{6!}\cdot (e)^{-1.6} = 26.11738 \cdot 10^{-6} =0.00470452985}\)
c)
\(\displaystyle{ P(X<=3) = \frac{(1.6)^{0}}{0!}\cdot (e)^{-1.6} + \frac{(1.6)^{1}}{1!}\cdot (e)^{-1.6} + \frac{(1.6)^{2}}{2!}\cdot (e)^{-1.6} + \frac{(1.6)^{3}}{3!}\cdot (e)^{-1.6} = 0.921187}\)

[Reamider]

ponawiam pytanie z zadania pierwszego :
Czy nie powinienem jeszcze pomnożyć pod koniec obliczania prawdopodobieństwa razy ilość możliwości ustawienia kul czyli w podpunkcie a) o 10 razy b) o 4 razy c) o 6 razy ?

[Konradek]

1. a) Co najwyżej dwa razy oznacza, że możesz wylosować dwa razy, jeden raz lub zero razy.

[szachimat]

Ad 1a
Wprawdzie wybór urny jest z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), ale przez to, że urn typu A mamy 3, a urn typu B mamy 5, to w swoim przejściu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{10}}\) musisz to uwzględnić i zamienić \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) raz na \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) a raz na \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\)
Ponieważ dalej można to podciągnąć pod schemat Bernoulliego, więc zrób tak, a odpowiedź czy należy mnożyć jeszcze przez 10 sama się pojawi.
I jeszcze uwzględnij to, co pisze Konradek.