Prosty kawałek drutu o dł. 4 zgięto pod kątem prostym w losowo wybranym punkcie. Przyjmujemy, że zmienna losowa, która jest odległością tego punktu od ustalonego końca drutu ma rozkład jednostajny na przedziale [0,4]. Z krótszego z otrzymanych odcinków tworzymy bok prostokąta, a dłuższy zginamy jeszcze w 2 punktach tak, by powstała prostokątna ramka. Znaleźć dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej, którą jest pole prostokąta ograniczonego tą ramką.
X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0,4], czyli ma gęstość \(\displaystyle{ f_X (x) = \frac{1}{4} \cdot \chi_{[0,4]} (x)}\)
Niech jeden odcinek to X, a drugi 4-X
1. przypadek \(\displaystyle{ 4-X>X}\) czyli X - jeden z boków prostokąta, resztę zginamy
z tego wynika, że drugi bok prostokąta ma dł. \(\displaystyle{ 2-X}\), a zatem zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = X(2-X)}\)
2. przypadek \(\displaystyle{ 4-X<X}\) czyli \(\displaystyle{ 4-X}\)- jeden z boków prostokąta, resztę zginamy
z tego wynika, że drugi bok prostokąta ma dł. \(\displaystyle{ X-2}\), a zatem zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = (X-2)(4-X)}\)
Teraz nie wiem jak mam to zapisać jako jedną zmienną losową Y, o ile mogę zapisać \(\displaystyle{ |X-2|}\), to X i 4-X nadal są różne..