Zmienna losowa - rozkład jednostajny

[Teano]

Z odcinka [0, 2] losujemy punkt według rozkładu jednostajnego, który dzieli ten odcinek na dwa kawałki. Niech Y bedzie róznica pomiedzy długoscia dłuzszego i krótszego kawałka. Oblicz E(Y ).

Rozwiązanie:

Niech wylosowany punkt to x, podzielił on odcinek [0,2] na 2 części: a i b. Zakładam, że a>b (mogę tak założyć, czy muszę rozpatrzeć jeszcze jeden przypadek: b>1 ? ).

a + b = 2 \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) a = 2 - b \(\displaystyle{ \Rightarrow}\)Y(a,b) = a - b = 2 - 2b

"Z odcinka [0, 2] losujemy punkt według rozkładu jednostajnego" czy z tego wynika, że gęstość Y to \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2}}\) dla [0,2] i 0 w przeciwnym przypadku?

Nie wiem za bardzo co dalej, proszę o pomoc.

[bartek118]

Proponuję tak - \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0,2]}\), czyli ma gęstość \(\displaystyle{ f_X (x) = \frac{1}{2} \cdot \chi_{[0,2]} (x)}\).

Teraz - \(\displaystyle{ Y}\) to różnica długości tych odcinków - wynosi ona \(\displaystyle{ Y = \left|X-(2-X) \right| = 2 |X-1|}\).

Mamy zatem zależność \(\displaystyle{ Y = 2 |X-1|}\) - jak zachowuje się gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\)?

[Teano]

\(\displaystyle{ F_{Y}(y) = P (Y \le y) = P(2|X-1| \le y) = P(- \frac{1}{2}y+1 \le X \le \frac{1}{2}y+1) = ... ?}\) nie wiem jak mam teraz zamienić to na dystrybuantę..

[bartek118]

Teraz z definicji liczysz:
\(\displaystyle{ \mathbb{P} \left(- \frac{1}{2}y+1 \le X \le \frac{1}{2}y+1\right) = \int_{- \frac{1}{2}y+1}^{\frac{1}{2}y+1} f_X (x) \mathrm{d}x}\)