Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Post autor: Teano »

Wykaż, że minimum niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych ma rozkład wykładniczy.

Proszę o pomoc.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Post autor: bartek118 »

\(\displaystyle{ \mathbb{P} (\min \{ X_1, X_2, \ldots, X_n \} \leq t ) = \mathbb{P} \left( \forall_{i} X_i \leq t \right)}\)
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Post autor: Teano »

a nie powinno się zaczynać:

\(\displaystyle{ \mathbb{P} (\min \{ X_1, X_2, \ldots, X_n \} \leq t ) = 1 - \mathbb{P} (\min \{ X_1, X_2, \ldots, X_n \} > t ) = 1 - \mathbb{P} \left( \forall_{i} X_i > t \right)}\)

?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Post autor: bartek118 »

Teano pisze:a nie powinno się zaczynać:

\(\displaystyle{ \mathbb{P} (\min \{ X_1, X_2, \ldots, X_n \} \leq t ) = 1 - \mathbb{P} (\min \{ X_1, X_2, \ldots, X_n \} > t ) = 1 - \mathbb{P} \left( \forall_{i} X_i > t \right)}\)

?
Zgadza się, mój błąd - byłoby ok, gdyby było maksimum, masz rację.
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum niezależych zmiennych losowych - rozkład wykładniczy

Post autor: Teano »

W takim razie czy gęstość minimum niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych będzie wyrażona wzorem?

\(\displaystyle{ f(t) = n\lambda e^{-n \lambda t }}\) dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) oraz 0 dla pozostałych?
ODPOWIEDZ