Wektor losowy - niezależność zmiennych losowych

[Teano]

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y) = Kxy}\) dla \(\displaystyle{ (x,y) \in (0,1)^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ f(x,y) = 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ (x,y)}\), gdzie K jest odpowiednią stałą. Czy zmienne X, Y są niezależne? Odpowiedź uzasadnij.

Proszę o pomoc

[bartek118]

Wyznacz gęstości brzegowe całkując odpowiednio raz po jednej zmiennej, raz po drugiej. Następnie sprawdź, czy zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X \in A) \mathbb{P}(Y \in B) = \mathbb{P}((X,Y)\in A\times B)}\)

[Teano]

Gęstości brzegowe: \(\displaystyle{ \frac{Kx}{2}, \frac{Ky}{2}}\)

Mamy zatem:

\(\displaystyle{ \frac{Kx}{2} \cdot \frac{Ky}{2} \neq Kxy}\)


Proszę o sprawdzenie.

[Gogeta]

Nie do końca tak jest, oblicz ile wynosi stałą \(\displaystyle{ K}\) i wtedy sprawdź ^^

[Teano]

W jaki sposób obliczyć K?

[bartek118]

Gęstość musi scałkować się do \(\displaystyle{ 1}\).

[Teano]

W takim razie:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} f(x,y) dx dy = \frac{K}{4} \Rightarrow K = 4}\)

Zatem gęstości brzegowe są postaci: \(\displaystyle{ 2x, 2y}\)

\(\displaystyle{ 2x \cdot 2y = 4xy}\)

Zatem X,Y są niezależne.

[bartek118]

Tak