Suma niezależnych zmiennych losowych

[Teano]

Wykaż, że suma niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona ma rozkład Poissona.

Proszę o pomoc

[yorgin]

Jeżeli \(\displaystyle{ X\sim \text{Poiss}(\lambda)}\) oraz \(\displaystyle{ Y\sim \text{Poiss}(\mu)}\), to

\(\displaystyle{ P(X+Y=k)=\sum\limits_{n=0}^k P(X=n, Y=n-k)=\sum\limits_{n=0}^k \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}\cdot \frac{e^{-\mu}\mu^{k-n}}{(k-n)!}=\ldots}\)

Reszta to proste rachunki.

[Teano]

Dziękuję. Niestety nie wiem jak mają wyglądać te proste rachunki..

[yorgin]

Pomnóż i podziel przez \(\displaystyle{ k!}\) i poszukaj rozwinięcia dwumianowego Newtona.

[Teano]

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^k {k \choose n} \lambda^{n} \mu^{k-n} \frac{e^{-\lambda -\mu}}{k!}}\)

z pierwszej części sumy wynikałoby, że to będzie \(\displaystyle{ (\lambda+\mu)^{k}}\), ale zostaje druga część czyli \(\displaystyle{ \frac{e^{-\lambda -\mu}}{k!}}\) która nie jest stałą, więc nie mogę wyrzucić jej przed sumę, czy mogę po prostu wykonać takie przekształcenie?

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^k {k \choose n} \lambda^{n} \mu^{k-n} \frac{e^{-\lambda -\mu}}{k!} = e^{-\lambda -\mu} \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!}}\)

[yorgin]

ale zostaje druga część czyli \(\displaystyle{ \frac{e^{-\lambda -\mu}}{k!}}\) która nie jest stałą,

Dlaczego? Wszystko jest ustalone - parametry rozkładów oraz \(\displaystyle{ k}\).

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^k {k \choose n} \lambda^{n} \mu^{k-n} \frac{e^{-\lambda -\mu}}{k!} = e^{-\lambda -\mu} \frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!}}\)

No i jest dobrze.

[Teano]

Czy zamiast tego: \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^k P(X=n, Y=n-k)}\) nie powinno być czasem: \(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^k P(X=n, Y=k-n)}\)? Bo to pierwsze wyrażenie nie zgadza się z wzorem, który znalazłam

[yorgin]

Powinno. Dobrze, że pilnujesz

Napisałem we wskazanym przez Ciebie miejscu źle (istotnie, powinno być \(\displaystyle{ k-n}\) a wyszło \(\displaystyle{ n-k}\)), ale zaraz po znaku równości sumę dobrze rozpisałem.