Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: Teano »

Niezalażne zmienne losowe X i Y mają jednakowe rozkłady o gęstości f, \(\displaystyle{ f(t)=0}\) gdy \(\displaystyle{ t \le 1 , f(t)= \frac{1}{t^{2}}}\) gdy \(\displaystyle{ t>1}\). Znaleźć gęstość rozkładu i wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=\min(X,Y)}\)

Proszę o pomoc
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: pyzol »

Dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) potrafisz wyznaczyć?
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: Teano »

Dystrybuanta F(x) będzie wyrażać się wzorami:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{1}0dt = F(x) dla x \in \left( - \infty ,1\right)}\)


\(\displaystyle{ int_{1}^{ infty } frac{1}{t^{2}}dt = F(x) dla x in [1, infty )}\)

?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: pyzol »

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{1}^{x}\frac{\dd t}{t^2}}\)-- 15 lut 2014, o 14:03 --Jako już znajdziesz dystrybuantę, to liczysz:
\(\displaystyle{ F_{\min (X,Y)}(t)=P(\min(X,Y) \le t)=1-P(\min(X,Y)>t)\stackrel{*}{=}1-P(X>t,Y>t)=1-P(X>t)\cdot P(Y>t)}\)
\(\displaystyle{ *}\) jeśli minimum jest większe, to obie muszą być większe, dalej niezależność, no i jeszcze musisz znów zamienić na dystrybuanty...
Teano
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 6 lut 2012, o 19:49
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 93 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: Teano »

Zatem:

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{1}^{x}\frac{\dd t}{t^2}= 1 - \frac{1}{x}}\)

Czy \(\displaystyle{ P(X>t)\cdot P(Y>t) = (1-P(X \le t))\cdot (1- P(Y \le t))}\) ?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Minimum ze zmiennych losowych i ich wartość oczekiwana

Post autor: pyzol »

Dokładnie.
ODPOWIEDZ