rozmieszczanie kul w szufladach

[robin5hood]

Mam problem z takim zadaniem
zad
Cztery kule rozmieszczamy losowo w trzech szufladach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna zostanie pusta?

[greey10]

omega to \(\displaystyle{ 3^{4}}\)
a licznik to suma przypadkow gdy jest jedna szuflada pusta 2^{4} i gdy sa 2 szuflady puste czyli \(\displaystyle{ 1^{4}}\)
nowi odp to:
\(\displaystyle{ \frac{2^{4}+1}{3^{4}}}\)

[Damiano]

hmmm cos mi sie nie zgadza z omega.
moim zdaniem omega = \(\displaystyle{ {3+4-1\choose 3}={6\choose 3}=12}\)
a wiec prawdopodobienstwo ze co najmniej jedna jest pusta mozna obliczyc P=1-P' gdzie P' to prawdopodobuenstwo ze w kazdej szufladzie jest przynajmniej jedna kula \(\displaystyle{ P'=\frac{A}{\Omega}}\)
zbior A latwo policzyc. Nalezy wybrac jedna szuflade gdzie beda dwie kule czyli jest 4 takich mozwiosci i nasze pradopodobnienstwo wynosi:

\(\displaystyle{ P'=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}\)



\(\displaystyle{ P=1- \frac{1}{3}}\)

[greey10]

kurcze nie dostrzegam w takim razie swego bledu mozesz napisac skad bierzesz taka omege?

[Dooh]

hmmm cos mi sie nie zgadza z omega.
moim zdaniem omega = {3+4-1choose 3}={6choose 3}=12

hmm ale o co chodzi ? przyłączam się w zapytaniu do greey10

wracając do rozwiązania

a licznik to suma przypadkow gdy jest jedna szuflada pusta 2^{4} i gdy sa 2 szuflady puste czyli 1^{4}

ponumerujmy szuflady 1,2,3
liczbę które podałeś trzeba jeszcze *3 pomnożyć, bo gdy 2 na raz są puste to zarówno mogą to być szuflady 1,3 jak też 2,3 i 1,2, analogicznie gdy kule wędrują do 2 szuflad na raz to pusta może pozostać szuflada 1 i 2 i 3

wynik
\(\displaystyle{ \frac{3\cdot(2^{4}+1)}{3^{4}}=\frac{17}{27}}}\)

[Damiano]

hmmm wiec moze zrobie to na innym przykladzie latwiejszym:
np mamy dwie szuflady i 3 kule wtedy moga zajsc takie zdarzenia
3 0
2 1
1 2
0 3

czyli takich pprzypadkow jest 4 zgodnie z moim wzorem(zaraz wyjasnie jak on dziala) wedlug was \(\displaystyle{ \Omega= 2^{3} = 8}\) a czy jest wiecej mozlowosci rozmieszczenia niz ja podalem?
wzor
\(\displaystyle{ {n+k-1\choose n-1}}\) mozna hmmm dosc latwo pokazac jak powstal tnz:
n- to bedzie ilosc szuflad k- ilosc kul
IIIII....II kreski beda odzielac szuflady od siebie czyli jest ich n-1
bo 1 I 2 I....I n-1 I n i teraz w kazda taka szuflade mozna powrzucac kule oznaczmy je * czyli
II****II**I....I*I** oczywiscie dowolnie razem (kresek i gwiazdek) jest n-1+k czyli roznych permutacji jest \(\displaystyle{ (n+k-1) !}\)
ale kuli nie odrozniamy wiec nalezy podzielic przez \(\displaystyle{ k!}\) i oczyiwscie kresek tez wiec dzielimy przez \(\displaystyle{ (n-1)}\) ! i powstaje takie cos \(\displaystyle{ \frac{(n+k-1)!}{(k!)(n-1)!}={n+k-1\choose n-1} = {n+k-1\choose k}}\)

[Dooh]

No nie wiem niech ktoś mądrzejszy sie wypowie bo wg mnie to Ty podałeś ilość możliwych podziałów, a nie ilość sposobów na jakie można te podziały otrzymać.

Mówię o tym :

np mamy dwie szuflady i 3 kule wtedy moga zajsc takie zdarzenia
3 0
2 1
1 2
0 3

rzeczywiście możliwe podziały są 4, ale sposobów ich otrzymania jest \(\displaystyle{ 2^3=8}\) i zdarzenia takie :
(112)
(121)
(211)
(221)
(122)
(212)
(222)
(111)
(miejsce kuli 1, miejsce kuli 2, miejsce kuli3)

[greey10]

zgadzam sie z dooh

[Damiano]

hmmm tylko ze w waszym przypadku kazda kula jest inna czyli rozroniamy je.... a ja robilem (mi sie wydaje ze o to chodzi) ze kule sa takie same nieodroznialne

[robin5hood]

To w koncu jak rozwiazca to zadanie?

[greey10]

w sumie moze i masz racje w poceleniu nie ma napisane ze kulki sa ponumerowane a jesli nie sa ponumerowane to twoje rozwiazanie jest dobre

[Damiano]

moze pokaze to palecm :/
masz 3 szyflady 4 kule
4 I 0 I 0
3 I 1 I 0
3 I 0 I 1
2 I 2 I 0
2 I 1 I 1
2 I 0 I 2
1 I 3 I 0
1 I 2 I 1
1 I 1 I 2
1 I 0 I 3
0 I 4 I 0
0 I 3 I 1
0 I 2 I 2
0 I 1 I 3
0 I 0 I 4

wyzej zle podtsawilem do wzoru bo \(\displaystyle{ {n+k-1\choose n-1}={6\choose 2}=15}\) sorki wiec wynki bedzie inny bo mianownik bedzie rowny 15


a teraz wracam do wyjasniania jak sobie rozpisalem i policzylem na palcach tez wyszlo 15 czyli jest taki ustawien 15 (maksymalnie) jak chcemy policzyc prawdopodobienstwo ze co najmniej jedna jest pusta najlpeij obliczyc to ze wzrou \(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\) gdzie A' bedzie zbiorem zdarzen takich, ze wszytski szuflady sa zapelnione: czyli w jednej sa dwie kule obliczyc to mozna tak: wybieramy losowo jedna szuflade w ktorej bedzie 2 kule takich kombinacji jest 3 wiec \(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{3}{15}=\frac{4}{5}}\)

[greey10]

w moim roziwiazaniu zdarzenia
4 0 0
0 4 0
0 0 4

byle rozne a u ciebie sa takie same na tym polega roznica tak?

[robin5hood]

to ile wyszedł wynik?

[greey10]

damiano podal prawidlowe rozwiazanie