Niezalezność zmiennych losowych

[Gogeta]

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{\pi}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x^2+y^2 \le 1, y \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x,y)= 0}\) dla pozostalych \(\displaystyle{ (x,y)}\). Czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne? Odpowiedz uzasadnij.

Nie wiem czy dobrze to zrobiłem, otóż:

\(\displaystyle{ f_1(x)= \int_{-1}^{1} \frac{\pi}{2} dy = 0}\)
\(\displaystyle{ f_2(y)= \int_{0}^{1} \frac{\pi}{2} dx =\frac{\pi}{2}}\)

czyli dla \(\displaystyle{ \left\{ x^2+y^2 \le 1, y \ge 0\right\}}\) mamy \(\displaystyle{ f(x,y) \neq f_1(x)f_2(y)}\) czyli zmienne są zależne

Czy to jest dobrze zrobione?

[Gadziu]

Wydaje mi się, że ok.

[buus]

Nie, to nie jest dobrze.

Narysuj sobie na płaszczyźnie to półkole. Następnie ustal sobie jakiś \(\displaystyle{ x\in[-1,1]}\) i zauważ, że do półkola należą te punkty, których \(\displaystyle{ y}\)-ki należą do przedziału \(\displaystyle{ [0,\sqrt{1-x^2}]}\). Dlatego dla ustalonego iksa liczysz całkę
\(\displaystyle{ f_1(x)=\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\frac\pi 2 dy}\).
Analogicznie obliczasz \(\displaystyle{ f_2(y)}\).

[Gogeta]

o dzieki za malo obycia z calkami chyba mam...