Kilka zadań od ambitnego prowadzącego [rozkłady]

[Seu]

Hej, bardzo proszę Was o pomoc przy pewnych zadaniach. Niektóre dotyczą innego modułu prawdopodobieństwa, więc znajdują się w innym dziale. Z góry bardzo dziękuję za jakąkolwiek pomoc.
W piątek mam poprawkę, a został mi tylko ten przedmiot. Bardzo zależy mi na tym, żeby go zaliczyć...

1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) określa ilość awarii urządzeń typu I w określonym przedziale czasowym i ma rozkład Poisson'a z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\). Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) określa ilość awarii urządzeń typu II w tym samym przedziale czasowym i ma rozkład Poisson'a z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\). Zakładamy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ Y}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że ilość awarii urządzeń typu I będzie dwa razy większa od ilości awarii urządzeń typu II.

2. Ilość nadchodzących zgłoszeń do pewnego serwera w określonym przedziale czasu jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\). Każde zgłoszenie może być z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) odrzucone przez serwer. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ k}\) zgłoszeń zostanie przyjętych przez serwer.

3. Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(\mu = 0; \sigma = 2,5)}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(-1 \le X + \left| X\right| \le 2)}\).

Nie wiem, jak mam poradzić sobie z rozbiciem na przypadki tej wartości bezwzględnej.

4. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [0, 1]}\). Niech \(\displaystyle{ U = min\left\{ X, Y\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ V = max\left\{ X, Y\right\}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ EU}\) oraz \(\displaystyle{ Cov(U, V)}\).

Może wstyd się przyznać, ale nawet nie wiem, co oznacza np. to \(\displaystyle{ V = max/min\left\{ X, Y\right\}}\)

Będę bardzo wdzięczny za jakiekolwiek wyjaśnienia!

[scyth]

Liczba awarii, liczba zgłoszeń - powiedz ambitnemu prowadzącemu, że ilość jest niepoprawnym sformułowaniem.

1. Jak wygląda rozkład Poissona i prawdopodobieństwo danego zdarzenia?
2. Czyli będzie \(\displaystyle{ k}\) zgłoszeń i wszystkie będą przyjęte lub \(\displaystyle{ k+1}\) zgłoszeń i jedno odrzucone lub \(\displaystyle{ k+2}\) zgłoszeń i dwa odrzucone lub ...
3. Rozbij na dwa zdarzenia - warunek i \(\displaystyle{ X<0}\) oraz warunek i \(\displaystyle{ X>0}\).
4. \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) to nowe rozkłady - minimum i maksimum z dwóch zmiennych.

[Seu]

Hm, no to po kolei...

Ad 1
\(\displaystyle{ X: P(X = 2k; \lambda_{1})}\)
\(\displaystyle{ Y: P(Y = k; \lambda_{2})}\)

\(\displaystyle{ X: e^{-\lambda_{1}} \cdot \frac{\lambda_{1}^{2k}}{(2k)!}}\)
\(\displaystyle{ Y: e^{-\lambda_{2}} \cdot \frac{\lambda_{2}^{k}}{(k)!}}\)

Jako, że są to zdarzenia niezależne:

\(\displaystyle{ P(X = 2Y) = P(X = 2k \wedge Y = k) = \sum_{ \infty }^{k=0} e^{-\lambda_{1}} \cdot \frac{\lambda_{1}^{2k}}{(2k)!} \cdot e^{-\lambda_{2}} \cdot \frac{\lambda_{2}^{k}}{(k)!}}\)

Dalej nie zaszedłem, nie wiem, czy jest to dobrze. Zaraz postaram się ruszyć z miejsca następne zadania korzystając z Twoich wskazówek.