Zmienna losowa

[Teano]

Niech \(\displaystyle{ \pi = \left\{ 1, 2, . . . , 10\right\}}\)i niech X bedzie funkcja okreslona wzorem \(\displaystyle{ X(w)=2w, w \in \pi}\) Wskaz nietrywialna sigma - algebre \(\displaystyle{ \beta \subset P( \pi )}\) przy której X nie jest zmienna losowa.

[szw1710]

Tak więc przeciwobraz jakiegoś przedziału ma nie być mierzalny (nie może należeć do sigma-algebry). Sądzę, że Twoje żądanie zrealizuje każda nietrywialna sigma-algebra różna od \(\displaystyle{ \mathcal{P}(\pi)}\). Wiele tu postów pokazujących tego rodzaju sigma-algebry. Np. \(\displaystyle{ \beta=\Bigl\{\emptyset,\{1\},\{2,\dots,10\},\pi\Bigr\}}\). Co oznacza, że \(\displaystyle{ X(\omega)\in(4,6)}\)?

[Teano]

\(\displaystyle{ X(\omega)\in(4,6)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ X(\omega) = \emptyset}\)

Dzięki!

[szw1710]

Nie za bardzo. Popraw się.

Parafrazując wieszcza, moje rozwiązanie jest jednym wielkim obowiązkiem. Bo masz sprawdzić, że \(\displaystyle{ \beta}\) jest sigma-algebrą, a funkcja \(\displaystyle{ X}\) nie jest względem niej funkcją mierzalną. Czyli masz do uzupełnienia szczegóły. A to co podałaś, nie jest prawdą.

[Teano]

\(\displaystyle{ X^{-1}\left( \left( 4,6\right) \right) = \emptyset}\)

[szw1710]

Tak. Pomyliłem się trochę. Bo to by znaczyło, że \(\displaystyle{ 2\omega\in(4,6)}\) więc \(\displaystyle{ \omega\in(2,3)}\). Więc może co to znaczy, że \(\displaystyle{ X(\omega)\in(4,8)}\)?

[Teano]

To, że: \(\displaystyle{ X(\omega)\in(4,8)}\) oznacza, że \(\displaystyle{ \omega\in(2,4)}\) oraz: \(\displaystyle{ X^{-1}\left( \left( 4,8\right) \right) = \left\{ 3\right\}}\), a \(\displaystyle{ \left\{ 3\right\}}\) nie należy do \(\displaystyle{ \beta.}\) Zatem \(\displaystyle{ \beta=\Bigl\{\emptyset,\{1\},\{2,\dots,10\},\pi\Bigr\}}\) to sigma-algebra, przy której X nie jest zmienna losowa, tak?

[szw1710]

Właśnie tak. Uzasadnij jeszcze, że \(\displaystyle{ \beta}\) rzeczywiście jest sigma-algebrą.

[Teano]

\(\displaystyle{ \beta=\Bigl\{\emptyset,\{1\},\{2,\dots,10\},\pi\Bigr\}}\) jest sigma-algebrą, ponieważ:

1. zbiór pusty należy do \(\displaystyle{ \beta}\), \(\displaystyle{ \emptyset \in \beta}\)
2. dopełnienie zbioru należącego do \(\displaystyle{ \beta}\) należy do \(\displaystyle{ \beta}\)
np. \(\displaystyle{ A = \left\{ 1\right\},
A^{'} = \Bigl\{\emptyset,\,\{2,\dots,10\},\pi\Bigr\} \in \beta}\)

3. suma przeliczalnie wielu zbiorów należących do \(\displaystyle{ \beta}\) należy do \(\displaystyle{ \beta}\):

np. \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\} \cup \left\{ 1\right\} \cup \left\{ 2,..,10\right\} \cup \pi = \pi \in \beta}\)

[szw1710]

ad 2. Zły zapis: jeśli \(\displaystyle{ A=\{1\}}\), to \(\displaystyle{ A'=\{2,\dots,10\}}\). Ale tok myślenia poprawny.

[Teano]

Mam jeszcze jedno podobne zadanie, dobrze rozumuję w tym przypadku?



Niech \(\displaystyle{ X = 0}\), gdy suma oczek wyrzucanych na dwóch kostkach jest parzysta oraz \(\displaystyle{ X = 1}\), gdy suma jest nieparzysta. Wskaż nietrywialne sigma-algebry \(\displaystyle{ \beta}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 1,...,6\right\} ^{2}}\), przy której \(\displaystyle{ X}\):

a) nie jest zmienną losową
b) jest zmienną losową

a) \(\displaystyle{ \beta = \left\{ \emptyset, \left\{ 1,...,6\right\} ^{2}, \left\{ 1,2,..,6\right\} \times \left\{ 1,2,..,5\right\}, (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6) \right\}}\)

b)
\(\displaystyle{ \pi = \left\{ (i,j) \in \left\{ 1,...,6\right\} ^{2} : i+j = 2k, k \in N\right\}}\)
\(\displaystyle{ \alpha = \left\{ (i,j) \in \left\{ 1,...,6\right\} ^{2}: i+j = 2k+1, k \in N\right\}}\)

\(\displaystyle{ \beta = \left\{ \emptyset, \left\{ 1,...,6\right\} ^{2}, \alpha , \pi \right\}}\)