Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
W pewnym magazynie znajduje się towar o przeciętnej wadliwości \(\displaystyle{ 0,1}\). Korzystając z tw Moivra-Laplace'a obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych \(\displaystyle{ 100}\) sztuk towaru, procent sztuk wadliwych różni się od \(\displaystyle{ 10}\) o co najmniej \(\displaystyle{ 0,15.}\)
Nie wiem jak mam zapisać warunki zadania do tego wzoru.
Jak rozumiem \(\displaystyle{ ES_{n}=n*p=100*0,1=10}\) \(\displaystyle{ D^{2}S_{n}= 0,1*0,9*100= 9 \Rightarrow \sqrt{D^{2}S_{n}}=3}\)
W zasadzie wszystko już masz. Procent sztuk wadliwych to \(\displaystyle{ \frac{1}{100}\cdot S_n}\). Skoro ma się on różnić od 10 % o co najmniej 0.15 to mamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{100}\cdot S_n - \frac{10}{100} \ge 0.15}\). Szukamy zatem prawdopodobieństwa : \(\displaystyle{ p=P(\frac{1}{100}\cdot S_n -0,1 \ge 0,15)}\)
Mamy zatem: \(\displaystyle{ p=P(\frac{1}{100}\cdot S_n -0,1 \ge 0,15)=P(S_n-10 \ge 15)=P(S_n \ge 25)=1-P(S_n < 25)}\)
Obliczmy \(\displaystyle{ P(S_n < 25)}\): \(\displaystyle{ P(S_n < 25)=P(Sn-ES_n < 25-ES_n)=P\left(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{D^2(S_n)}}<\frac{ 25-ES_n}{\sqrt{D^2(S_n)}}\right)=P\left(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{D^2(S_n)}}<\frac{ 25-10}{3}\right)=P\left(\frac{S_n-ES_n}{\sqrt{D^2(S_n)}}<5\right)=\Phi(5)}\)
Czyli \(\displaystyle{ p=1-\Phi(5)}\).
Trochę dziwny wynik ,bo \(\displaystyle{ \Phi(5)=0,9999997}\)
?