Mam pytanie odnośnie pokazywania czy dany rozkład spełnia warunek Lindeberga.
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},..}\) - niezależne zm.los., gdzie \(\displaystyle{ X_{k}}\) ma rozkład:
\(\displaystyle{ P(X_{k}=k)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(X_{k}=0)= \frac{1}{2}}\)
Należy znaleść ciągi \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n}}\) tak, żeby \(\displaystyle{ \frac{\sum_{1}^{n} X_{k} - a_{n}}{b_{n}}}\) jest słabo zbieżny do std. rozkł. norm.
Dlatego chcemy pokazać, że war. Lindeberga jest spełniony, tzn.
\(\displaystyle{ \left( \forall_{\epsilon>0} \right)\lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{k=1}^{n} \int_{ A_{n}^{k}} |X_{k} - m_{k}|^{2} dP_{k} = 0}\)
Gdzie \(\displaystyle{ A_{n}^{k} = \lbrace \omega \in \Omega: |X_{k}(\omega) - m_{k}| \geqslant \epsilon s_{n}\rbrace}\)
Będę chciał pokazać, że war. Lind. zachodzi, ponieważ dla dostatecznie dużych n wszystkie całki w pod sumą będą się zerować, ponieważ zbiory po których przyjdzie nam całkować będą puste (dla dużych n).
Do rzeczy: potrafię pokazać, że n-ty wyraz w sumie przy war. Lindeberga jest zerowy, ponieważ \(\displaystyle{ A_{n}^{n} = \emptyset}\) (dla dostatecznie dużych n).
Czy teraz prawdą będzie, że \(\displaystyle{ A_{n}^{k} = \emptyset}\) dla \(\displaystyle{ k<n}\)? Byłoby tak, gdybyśmy mieli, że \(\displaystyle{ A_{n}^{k} \subset A_{n}^{n}}\), czy jest to prawdą?
Mam wrażenie, że to jest proste, ale już zgłupiałem, dlatego bardzo proszę o pomoc
Pozdrawiam.
@edit: Chyba jednak to o co pytałem wyżej nie jest prawdą, a warunek L. nie jest spełniony, dostałem coś takiego:
\(\displaystyle{ s_{n}^{2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{4} \leqslant \frac{n^{3}}{4}}\)
\(\displaystyle{ s_{n} \leqslant n^{3/2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{s_{n}} \sum_{k=1}^{n} \int_{ A_{n}^{k}} |X_{k} - m_{k}|^{2} dP_{k} \geqslant \frac{4}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n} E \left( |X_{k} - m_{k}|^{2} \cdot I_{ \lbrace |X_{k}-m_{k}| \geqslant \epsilon \cdot n^{3/2}\rbrace} \right) \geqslant \frac{4}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n} \epsilon^{2}n^{3} = 4 \epsilon^{2} n \rightarrow \infty}\)
Czy rozumuję poprawnie? Jeśli tak, to jak powinienem zabrać się za to zadanie? Jak pokazać, że dla tego rozkładu zachodzi CTG? Proszę o podpowiedź
Pozdrawiam.