gestosc zmiennej losowej

[ewelinka_0402]

Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}sinx}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le \pi}\)
\(\displaystyle{ 0}\) dla pozostałych
Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y= X^{3}-1}\)

[szw1710]

Wyznacz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ Y}\): \(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y<y)=P(X^3<y+1)=P(X<\sqrt[3]{x+1})=F_X(\sqrt[3]{y+1}).}\) Oprzyj się teraz na dystrybuancie zmiennej \(\displaystyle{ X}\), którą musisz oczywiście wyznaczyć. Gęstość zmiennej losowej jest pochodną dystrybuanty w punktach ciągłości tejże. A oczywiście tutaj dystrybuanta jest ciągła.

[ewelinka_0402]

dystrybuanta F(x) jest rowna 0 dla x<0; \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} cosx-\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ \left\langle 0, \pi \right\rangle}\) oraz 1 dla \(\displaystyle{ \left( \pi , \infty \right)}\) co teraz?

[szw1710]

Możesz zauważyć, że oznaczając gęstość \(\displaystyle{ Y}\) przez \(\displaystyle{ g}\), masz \(\displaystyle{ g(y)=F_Y'(y)}\) i teraz możesz skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ F_X}\).