WWO dowód własności

[Nesquik]

Dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,T}\) oraz borelowskiej funkcji \(\displaystyle{ g}\) uzasadnić, że
\(\displaystyle{ E(X|g(T))=E(E(X|T)|g(T))=E(E(X|g(T)|T)}\) gdzie \(\displaystyle{ X}\) całkowalna.

Mam dowód tego same twierdzenia gdy \(\displaystyle{ G_{1},G_{2} \subset F}\) , \(\displaystyle{ X}\) całkowalna i trzeba pokazać że \(\displaystyle{ E(X|G_{1})=E(E(X|G_{1})|G_{2})=E(E(X|G_{2}|G_{1})}\)

Czy ten pierwszy dowód będzie przebiegał tak jak dla tego twierdzenia tylko zamiast \(\displaystyle{ G_{1},G_{2}}\) mam \(\displaystyle{ X,T}\)?

[matfka]

Wie ktoś jak przeprowadzić ten dowód?

[Adifek]

Nesquik, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ G_1 = \sigma (T)}\) oraz \(\displaystyle{ G_2 = \sigma(g(T))}\) lub na odwrót - w zależności które sigma-ciało jest większe.

[matfka]

A które jest większe?

[Adifek]

To zależy od zmiennej i od funkcji.

[matfka]

Hmm... A jeżeli mamy tylko takie polecenie, to można przyjąć, że \(\displaystyle{ \sigma(g(T))}\) jest mniejsze?

[Adifek]

Po chwili zastanowienia, muszę się poprawić. Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest borelowska, to \(\displaystyle{ \sigma(g(T))}\) powinno być nie większe od \(\displaystyle{ \sigma(T)}\). Ale o tej porze moje procesy powoli się wyłączają, więc radzę to sprawdzić