funkcja gęstości nowej zmiennej losowej

[Karolina93]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot e^{x} &\text{dla }x\in\left[ 0, \ln 3\right], \\ 0&\text{dla pozostałych }x\,.\end{cases}}\)

Wyznacz funkcję gęstości \(\displaystyle{ Y=e^{X}}\).

Ma ktoś jakiś pomysł jak to zrobić ?

[szw1710]

Funkcja gęstości nie może być ujemna.

[Karolina93]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2} \cdot e^{x} &\text{dla }x\in\left[ 0, \ln 3\right], \\ 0&\text{dla pozostałych }x\,.\end{cases}}\)

Wyznacz funkcję gęstości \(\displaystyle{ Y=e^{X}}\)

Jak zwykle głupia literówka...
No więc mogę liczyć na pomoc z tym zadaniem ? Czy najpierw powinnam wyznaczyć dystrubantę tej funkcji gęstości ?

[szw1710]

Są gotowe wzory na gęstość złożenia. Tak z mańki należałoby rzeczywiście wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ e^X}\), a potem gęstość. Chyba Tobie tłumaczyłem niedawno jak się to robi.

[Karolina93]

\(\displaystyle{ F_{y}(y)= P(Y<y)= P(e^{x}<y)= P(\ln e^{X}< \ln y)= P(X< \ln y) = F_{x}(\ln y)
\\

f_{y}(y)= \frac{d}{dy} F_{Y}(y)= \frac{d}{dy} F_{X}(\ln y)= \frac{d}{dy} \int_{- \infty }^{\ln y} f_{X}(x) dx=}\)

Zrobiłam to zgodnie z podobnym przykładem z książki. Mogę prosić o pomoc z dokończeniem ?

[szw1710]

Nic tylko scałkować \(\displaystyle{ f_X}\), którą przecież masz. Rozumowanie jest poprawne.

[Karolina93]

no dobrze, a już abstrahując od tego przykładu , gdybym miała funkcję gęstości taką
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}2(1-x) \ \ , x \in (0,1) \\ 0 \ \ pozostałe \ \ x \end{cases}}\)
i miała wyznaczyć też zmienną losową \(\displaystyle{ Y= e^{X}}\) to w momencie nie dokończyłam poprzedniego postu całka wyszłaby rozbieżna... Co w takim przypadku ?

[szw1710]

Na razie nie wiem. Żona mnie do sprzątania goni i krzyczy na mnie Zastanowię się w trakcie ścielenia łóżek dzieciakom.

[Karolina93]

Ok , to jeśli Pan coś wymyśli to proszę dać znać

[szw1710]

Która całka jest rozbieżna? Wydaje mi się, że zadanie idzie identycznie.

[Karolina93]

Która całka jest rozbieżna? Wydaje mi się, że zadanie idzie identycznie.

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{\ln y} 2(1-x) dx}\)

[szw1710]

A jaka jest ta gęstość w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\)?

[Karolina93]

Czyli powinno być\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} 0 dx + \int_{0}^{\ln y} 2(1-x)dx}\). Dobrze rozumuję ?

[szw1710]

Właśnie tak. Oczywiście dla odpowiedniego \(\displaystyle{ y}\) czyli takiego, że \(\displaystyle{ \ln y>0}\) czyli \(\displaystyle{ y>1}\). Następny przypadek będziemy mieć gdy \(\displaystyle{ \ln y>1}\). Wtedy całka rozpada się na trzy części.

[Karolina93]

ok dziękuje za wszelaką pomoc.