rozkład geometryczny

[mat12345]

zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem p. Podać rozkład zamiennej \(\displaystyle{ Y=(-1)^{X}}\).

[zidan3]

Zauważmy, że zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) przyjmuje tylko dwie wartości, mianowicie \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ -1}\). Kiedy przyjmuje \(\displaystyle{ 1}\)? Ano wtedy gdy 2 dzieli \(\displaystyle{ X}\).
Stąd
\(\displaystyle{ P \left( (-1)^X =1\right) = \sum_{n=0}^{\infty} P \left(X =2n \right)=...}\)
A jak to policzysz, to \(\displaystyle{ P(Y=-1)}\) masz automatycznie z własności prawdopodobieństwa.