Obiekt porusza się skokami na przemian w przód i w tył. Skoki są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym przy czym skoki w przód i w tył mają srednie w przód \(\displaystyle{ 1}\)m w tył \(\displaystyle{ 25}\)cm. Jaka jest szansa ze po wykonaniu \(\displaystyle{ 400}\) skoków obiekt oddali się od punktu startowego o \(\displaystyle{ 180}\)m lub więcej?
\(\displaystyle{ X_{i}}\) - i-ty skok w przód
\(\displaystyle{ Y_{j}}\) - j-ty skok w tył
\(\displaystyle{ Z_{k}=X_{i}-Y_{j}}\) równica po skoku w przód i w tył
\(\displaystyle{ EX_{i}= \frac{1}{100}}\)
\(\displaystyle{ EY_{j}= \frac{1}{25}}\)
Skoro niezależne to
\(\displaystyle{ EZ_{k}=\frac{1}{100}-\frac{1}{25}}\)?
CTG skoczek
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
CTG skoczek
Tu nie potrzeba niezależności. To zwykła liniowość całki. Poza tym średnie masz podane, a liczysz je źleSkoro niezależne to
Szukamy
\(\displaystyle{ P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}Z_k\right| \ge 180 \right) = P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}(X_k - Y_k )\right| \ge 180 \right)}\)
Ponieważ chcemy użyć CTG, dokładny rozkład tych różnic nie jest nam potrzebny. Wystarczy nam ich wartość oczekiwana i wariancja
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z_k = 1- 0,25 = 0,75\\ \
VarZ_k = VarX_k +VarY_k = 1 + 0,0625}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ P\left( \left| \sum_{k=1}^{200}Z_k\right| \ge 180 \right) = P\left( \sum_{k=1}^{200}Z_k \ge 180 \right) + P\left( \sum_{k=1}^{200}Z_k \le -180 \right) = \\ \\
= P\left( \frac{\sum_{k=1}^{200}(Z_k -\mathbb{E}Z_k ) }{\sqrt{200VarZ_k}} \ge \frac{180-200\mathbb{E}Z_k }{\sqrt{200VarZ_k}} \right) + P\left( \frac{\sum_{k=1}^{200}(Z_k -\mathbb{E}Z_k ) }{\sqrt{200VarZ_k}} \le \frac{-180-200\mathbb{E}Z_k}{\sqrt{200VarZ_k}} \right) \approx \\ \\
\approx \left[ 1 - \Phi \left( \frac{180-200\mathbb{E}Z_k }{\sqrt{200VarZ_k}} \right) \right] + \Phi \left( \frac{-180-200\mathbb{E}Z_k}{\sqrt{200VarZ_k}} \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 410
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 13:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 25 razy
CTG skoczek
Jeszcze takie pytania:
sumujemy do \(\displaystyle{ 200}\) bo \(\displaystyle{ Z_{k}}\) to róznica dwóch skoków czyli \(\displaystyle{ \frac{400}{2}}\)?
wartosci oczekiwane odejmujemy,to wariancje tez powinnismy odjąć?
sumujemy do \(\displaystyle{ 200}\) bo \(\displaystyle{ Z_{k}}\) to róznica dwóch skoków czyli \(\displaystyle{ \frac{400}{2}}\)?
wartosci oczekiwane odejmujemy,to wariancje tez powinnismy odjąć?
-
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
CTG skoczek
No razem 400 skoków, co daje po 200 skoków w każdą stronę.
Podstawowe własności wariancji się kłaniają Tym sposobem moglibyśmy dostać ujemną wariancję, co byłoby kompletną bzdurą.
wartosci oczekiwane odejmujemy,to wariancje tez powinnismy odjąć?
Podstawowe własności wariancji się kłaniają Tym sposobem moglibyśmy dostać ujemną wariancję, co byłoby kompletną bzdurą.