Jeśli by ktoś mógł mi rozwiązać takie zadanie...
Wybieramy losowo jeden ze zbiorów A={1,2,...,62} lub B={1,2,...,124}. Z wybranego zbiory losujemy liczbę x. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że liczba x^2+1 jest podzielna przez 10
Prawdopodobieństwo z podzielnością kwadratów liczb
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Prawdopodobieństwo z podzielnością kwadratów liczb
\(\displaystyle{ x^{2}+1=10k\ \ k\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{A},\mathbb{B}\\
x^{2}=10k-1\\
x=\sqrt{10k-1}\\}\)
Teraz wystarczy znalezc tylko takie x dla ktorych wyrazenie po prawej bedzie liczba naturalna. Wychodzi wiec:
\(\displaystyle{ k=1\ \ x=3\ D\\
k=2\ \ x=\sqrt{19}\ D\\
k=3\ \ x=\sqrt{29}\ D\\
...\\
k=5\ \ x=7\ D\\}\)
Podstawiajac dalej dochodzimy do wniosku ze wiecej takich liczb nie bedzie we wskazanych zbiorach A i B. Liczbami spelniajacymi ten warunek beda wiec 3 oraz 7. Nastepnie po narysowaniu drzewka wychodzi:
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{62} +\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{124}=\frac{1}{2}(\frac{2}{62}+\frac{1}{62})=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{62}=\frac{3}{124}}\)
Powinno byc OK. POZDRO
x^{2}=10k-1\\
x=\sqrt{10k-1}\\}\)
Teraz wystarczy znalezc tylko takie x dla ktorych wyrazenie po prawej bedzie liczba naturalna. Wychodzi wiec:
\(\displaystyle{ k=1\ \ x=3\ D\\
k=2\ \ x=\sqrt{19}\ D\\
k=3\ \ x=\sqrt{29}\ D\\
...\\
k=5\ \ x=7\ D\\}\)
Podstawiajac dalej dochodzimy do wniosku ze wiecej takich liczb nie bedzie we wskazanych zbiorach A i B. Liczbami spelniajacymi ten warunek beda wiec 3 oraz 7. Nastepnie po narysowaniu drzewka wychodzi:
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{62} +\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{124}=\frac{1}{2}(\frac{2}{62}+\frac{1}{62})=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{62}=\frac{3}{124}}\)
Powinno byc OK. POZDRO
Prawdopodobieństwo z podzielnością kwadratów liczb
Hmm... Jednak nie jest ok. Bo na przykład dla liczby
x = 13, 17, 23 jej kwadrat powiększony o 1 jest podzielny przez 10
Poza tym metoda rozwiązania powinna być bardziej uniwersalna, wydaje mi się, że nie mogę tak sobie sprawdzić wszystkich liczb i zobaczyć, czy są podzielne czy nie... W przypadku zbioru 62-elementowego jest to jeszcze wykonalne, ale co jak na maturze będzie zbiór 1000-elementowy..?
Czy da się to jakoś uogólnić?
[ Dodano: 2 Maj 2007, 23:17 ]
Już chyba mam!
Musi to być taka liczba, żeby jak się ją podniesie do kwadratu, to cyfra jedności była 9 (po dodaniu jedynki będzie wtedy podzielna przez 10). Jeżeli liczba kończy się na 3 lub 7, to jej kwadrat będzie kończył się na 9. Rząd dziesiątek i setek nie jest istotny. Czyli wszystkie liczby z zakresu, które mają cyfrę jedności 3 lub 7 będą wchodziły do zbioru wyników sprzyjających.
To, jak już ustalę liczbę liczb "sprzyjających" w zbiorze A i B, powiedzmy odpowiednio n i m, to prawdopodobieństwo całego zdarzenia będzie 1/2 * n/62 + 1/2 * m/124 ?
x = 13, 17, 23 jej kwadrat powiększony o 1 jest podzielny przez 10
Poza tym metoda rozwiązania powinna być bardziej uniwersalna, wydaje mi się, że nie mogę tak sobie sprawdzić wszystkich liczb i zobaczyć, czy są podzielne czy nie... W przypadku zbioru 62-elementowego jest to jeszcze wykonalne, ale co jak na maturze będzie zbiór 1000-elementowy..?
Czy da się to jakoś uogólnić?
[ Dodano: 2 Maj 2007, 23:17 ]
Już chyba mam!
Musi to być taka liczba, żeby jak się ją podniesie do kwadratu, to cyfra jedności była 9 (po dodaniu jedynki będzie wtedy podzielna przez 10). Jeżeli liczba kończy się na 3 lub 7, to jej kwadrat będzie kończył się na 9. Rząd dziesiątek i setek nie jest istotny. Czyli wszystkie liczby z zakresu, które mają cyfrę jedności 3 lub 7 będą wchodziły do zbioru wyników sprzyjających.
To, jak już ustalę liczbę liczb "sprzyjających" w zbiorze A i B, powiedzmy odpowiednio n i m, to prawdopodobieństwo całego zdarzenia będzie 1/2 * n/62 + 1/2 * m/124 ?