Na przyjęcia na którym ma byc Bardzo Ważna Osoba(BWO) zaproszono n osób. Przyjęcia rozpoczyna się o godzinie \(\displaystyle{ 0}\). Czasy przybycia zaproszonych gości są niezależnymi zmiennymi wykładniczymi o średnich \(\displaystyle{ 1}\), a czas przybycia BWO ma rozklad jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\). Znaleźć wzór na prawdopodobieństwo tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) gości przyjdzie przed BWO oraz obliczyć wartość oczekiwaną liczby gośći ktorzy przyjdą przed BWO
Pomysł mam taki,proszę o weryfikację:
\(\displaystyle{ U_{i}=1 / U_{i}=0}\) - gość przyszedł przed / po BWO
\(\displaystyle{ W}\) czas przybycia BWO, rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ (0,1)}\)
\(\displaystyle{ Y}\) czas przybycia zaproszonych gości o rozkładzie wykładniczym
\(\displaystyle{ P(U_{i}=1)= \int_{0}^{w}e^{-y} dy = 1-e^{-w}=p}\)
Liczba przybyłych gości przed BWO to rozkład bernoulliego z parametrami \(\displaystyle{ B(n,p)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} U_{i}}\) ma rozkład bernoulliego z tego wynika że \(\displaystyle{ U_{i}=k|W}\) ma rozkład bernoulliego
\(\displaystyle{ P(U_{i}=k|W=p) = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}}\) - moje szukane prawdopodobienstwo
\(\displaystyle{ E(U_{i}|W=p)=np}\)
\(\displaystyle{ E(U_{i})=E(E(U_{i}|W=p))=E(np)=nE(w)=1/2n}\) - moja szukana wartosc oczekiwana