Jaką mam pewność zysku przy pozytywnej wartości oczekiwanej?

[hamsterman]

Witam serdecznie,

Problem przedstawia się następująco. Istnieje zakład gdzie mam 60% szans na wygraną i podwojenie swojego wkładu, a 40% na stracenie tego co postawiłem. Wartość oczekiwana w takim wypadku wynosi:

\(\displaystyle{ E(x) = 0,6 * 1 + 0,4 * (-1) = 0,2}\)

Zatem im częściej będę powtarzał dany zakład tym coraz bardziej będę się zbliżał do tego że zarobię na ten inwestycji 20%. Najpewniej jeżeli postawiłbym tysiąc zakładów mój zysk byłby bardzo zbliżony do 20% a jakbym postawił milion zakładów procent zysku by był jeszcze bardziej bliższy liczbie 0,2 w kolejnych miejscach po przecinku. Jakie jest jednak prawdopodobieństwo dla określonej liczby prób, że na takiej inwestycji zarobię? Bo w końcu mogę na tym stracić, szczególnie jak wykonam np. tylko dwa zakłady. Przykładowo, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia zysku dla 10 prób gdzie za za każdym razem stawiam złotówkę a jaka dla 100? Nie pytam tu o szansę zarobku tych 20% ale na szansę tego, że dochód - wkład będzie większy od 0.

[tomkoder]

Zakładając że w każdym zakładzie obstawiasz wszytko za każdym razem masz szansę wygrać 100% albo stracić wszystko.

To znaczy że po \(\displaystyle{ n}\) próbach będziesz miał:
- \(\displaystyle{ stawka\hphantom{1}poczatkowa \cdot 2^n}\) - jeśli wygrasz wszystkie \(\displaystyle{ n}\) prób z rzędu, albo w pozostałych przypadkach:
- \(\displaystyle{ 0}\) - ponieważ jeśli chociaż raz przegrasz to już nie będziesz miał za co obstawiać.

Teraz jakie jest p-stwo:
dla wygranej - \(\displaystyle{ 0,6^n}\)
dla przegranej - \(\displaystyle{ 1-0,6^n}\)

Dla \(\displaystyle{ n=10}\) p-stwo wygranej wynosi ok. \(\displaystyle{ 0,6 \%}\)


Jeśli chciałbyś używać wartości oczekiwanej itp. to musiałbyś zastosować znaną z giełdy strategię zarządzania kapitałem.

Czyli nie obstawiać za każdym razem całego kapitału a cześć.
Tylko wtedy musisz dodatkowo policzyć p-stwo wystąpienia iluś przegranych pod rząd - które Ci zjedzą cały kapitał.

Przykładowo jeśli każdy zakład obstawisz połową kapitału to nie możesz mieć dwóch przegranych pod rząd ponieważ pierwsza zjadłaby Ci połowę a druga - druga połowę i nie miałbyś czym grać dalej.
Wtedy dla n=10 prób:
- jeśli wystąpią dwie przegrane pod rząd - tracisz wszytko,
- jeśli będą na przemian wygrana i przegrana to średnio zarobisz \(\displaystyle{ 0}\), ale to zależy czy ilość gier będzie parzysta oraz czy gra zaczęła się przegraną czy wygraną,
- w pozostałych przypadkach zarabiasz więcej niż \(\displaystyle{ 0}\)

W praktyce na im więcej części podzielisz kapitał tym mniejsze będzie p-stwo że stracisz wszystko, ale tym mniej zarobisz w ciągu \(\displaystyle{ n}\) prób.
Dopiero gdy podzielisz kapitał na \(\displaystyle{ \rightarrow \inf}\) i gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \inf}\) wygrana sumaryczna będzie dążyć do \(\displaystyle{ 20 \%}\)

Biorąc to pod uwagę szacując zysk dla \(\displaystyle{ n=10}\) czy \(\displaystyle{ n=100}\) musiałbyś wprowadzić dodatkowy parametr - ilość cześć kapitału - i obawiam się że we praktyce to oszacowanie będzie praktycznie niemożliwe.

[hamsterman]

Wielkie dzięki za odpowiedź.

Interesuje mnie sytuacja gdy kapitał wynosi przykładowo \(\displaystyle{ 100zl}\) i za każdym razem stawiam \(\displaystyle{ 1zl}\). Jaka jest szansa zysku po \(\displaystyle{ 10}\) próbach, a jaka po \(\displaystyle{ 100}\)? Uważasz, że jest to niemożliwe do oszacowania? Sam nie wiem, możliwe chociaż byłbym pewien, że powinien być jakiś sposób.

[tomkoder]

Tzn. to że jest to wg. mnie praktycznie niemożliwe do oszacowania - myślałem ze chodzi Ci o oszacowanie p-stwa zysku i jaki ten zysk będzie.

Ponieważ możesz wykorzystać wyliczoną wcześniej wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ 0,2}\), ale:
zwróć uwagę że np. dla kapitału \(\displaystyle{ 100zl}\), gry za każdym razem \(\displaystyle{ 1zl}\) i \(\displaystyle{ n=10}\) nie masz szansy stracić wszystkiego (max. \(\displaystyle{ 10zl}\)).
Wydaje mi się że to ma wpływ na Twoją wartość oczekiwaną i dla takich przypadków będzie ona różna od \(\displaystyle{ 0,2}\).
Zresztą łatwo policzyć - nawet przy \(\displaystyle{ 10}\) wygranych wygrasz tylko \(\displaystyle{ 10zl}\), czyli \(\displaystyle{ 0,1}\) co mocna odbiega od \(\displaystyle{ 0,2}\)

JEŚLI jednak chodzi Ci tylko o p-stwo ze zarobisz cokolwiek to w tym przypadku myślę że wystarczy policzyć ile razy możesz przegrać a ile wygrać żeby wyjść na zero lub mieć więcej.
Łatwo policzyć że w tym konkretnym przypadku jeśli przegrasz 5 razy to wyjdziesz na 0, jeśli przegrasz więcej razy to stracisz, jeśli mniej - to zyskasz.

Wystarczy więc policzyć p-stwo że przegrasz mniej niż 5 razy (lub wygrasz 6 lub więcej)
A to już można zrobić z jakichś wzorków.

Znając stawki wygranej i przegranej też możesz użyć jakichś wzorków do wyliczenia ile razy max. możesz przegrać aby mieć więcej niż \(\displaystyle{ 0}\).

Ja się niestety nie odważę przytoczyć konkretnych wzorków ponieważ nie jestem ich pewien.

[hamsterman]

Chyba znalazłem rozwiązanie. Uświadomiłeś mi, że zysk wystąpi tylko wtedy jeżeli wygram przynajmniej połowę zakładów, zatem jest to w tym wypadku rozkład dwumianowy i liczenie prawdopodobieństwa dla danych:

\(\displaystyle{ n = 10, p = 0.6, P(X >= 5)}\) oraz
\(\displaystyle{ n = 100, p = 0.6, P(X >= 50)}\)

Wiem, że by znaleźć rozwiązanie można zaglądnąć do tablic, bądź próbować przybliżać rozkładem normalnym lub poissona ale mi chodzi jedynie o wynik więc znalazłem taką stronkę i wyniki wyglądają na bardzo wiarygodne. Zatem dla wprowadzonych danych otrzymałem:

\(\displaystyle{ n = 10, p = 0.6, P(X >= 5) = 0.8337613824}\)
\(\displaystyle{ n = 100, p = 0.6, P(X >= 50) = 0.983238313496839}\)

Dzięki za pomoc w każdym razie.