Oblicz gęstość zmiennej losowej

[nnnmmm]

Oblicz gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 2-2x \ dla \ x \in (0,1) \\ 0 \ dla \ p.p \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Y=e^X}\)

[porucznik]

Na początku obserwacja:

\(\displaystyle{ P(Y<t) = P(e^X<t) = P(ln(t) > X)= F_{X}(ln(t))}\)

gdzie \(\displaystyle{ F_{X}}\) jest dystrybuantą zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Jak wygląda ta dystrybuanta?

@edit: błąd poprawiony

[nnnmmm]

A nie będzie to tak wyglądać

\(\displaystyle{ P(Y<x)=P(e^X<x)=P(X<ln(x))=F(ln(x)}\)

Jakoś podobnie mam w notatkach od czego to zalezy?-- 19 sty 2014, o 00:22 --W tym przykładzie tak to policzyli

alfa =1/2

[porucznik]

Lepiej pisz w latex'u, wszystko co potrzebujesz znajdziesz tutaj: https://www.matematyka.pl/latex.htm

Wracając do zadania, kolejnym krokiem będzie wyliczenie dystrybuanty z definicji:

\(\displaystyle{ F(t) = \int_{-\infty}^{t} f(x) dx}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją gęstości. Spróbuj podać wzór na funkcję \(\displaystyle{ F}\) w oparciu o gęstość jaką podałeś.

[nnnmmm]

Z tym daję już radę

Tylko do końca nie rozumiem idei tych przekształceń i głownie założeń przyjmowanych. Mógłbyś mi je wytłumaczyć?

[porucznik]

Chodzi o to?

\(\displaystyle{ P(Y<t) = P(e^X<t) = P(ln(t) > X)= F_{X}(ln(t))}\)

Mamy: \(\displaystyle{ e^x<t=e^{ln(t)} \iff x<ln(t)}\)

Natomiast ostatnia równość to definicja dystrybuanty.

[nnnmmm]

Tak

a co z tymi założeniami "\(\displaystyle{ P(Y>0)=1, wiec \ g(y)=P(Y<x) dla \ x<0, niech\ x>0}\)"

to z tego, skąd te założenia?

[porucznik]

Nie zamieszczaj obrazków w rozwiązaniach, bo ponoć regulamin zabrania. Pisz w latex'u

Nie wiem o co dokładnie Ci chodzi. Nie potrzebujemy tutaj żadnych dodatkowych założeń. Zmienna losowa \(\displaystyle{ Y = e^{X}}\) jest nieujemna (przyjrzyj się wykresowi funkcji \(\displaystyle{ e^{x}}\)), stąd oczywiste jest, że \(\displaystyle{ P(Y>0) = 1}\), no bo przecież inaczej być nie może.

Dalsza część nie ma sensu, nie wiem co miałaś tutaj na myśli.

Inny przykład którym próbujesz się posiłkować pokazuje co trzeba dalej zrobić. Proponuję, żebyś najpierw wyliczyła dystrybuantę \(\displaystyle{ F_{X}}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) i podała jej wzór.