Mam pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \tau< \infty}\) jest momentem Markowa, a ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\), \(\displaystyle{ n \geqslant 0}\) jest adaptowalny względem \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n}}\) (filtracja naturalna), to \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F_{\tau}}}\).
Czyli mam pokazać, że \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) - mierzalna. Na początku chciałbym zapytać jak mam rozumieć zmienną \(\displaystyle{ X_{\tau}}\), bo nigdzie nie mogę znaleźć wyjaśnienia. Chodzi dokładniej o to, że moment zatrzymania \(\displaystyle{ \tau}\) rozumiemy jako pewną zmienną losową, dla której zachodzi \(\displaystyle{ \lbrace \tau = n \rbrace \in \mathcal{F}_{n}}\) \(\displaystyle{ \forall n}\). Co w takim wypadku oznacza zmienna losowa w indeksie zmiennej losowej ?
Pozdrawiam.
Moment Markowa, mierzalność zm. los.
Moment Markowa, mierzalność zm. los.
\(\displaystyle{ X_{\tau}=X(\tau(\omega),\omega)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem Markowa przyjmuje dla każdej \(\displaystyle{ \omega}\) wartość ze zbioru \(\displaystyle{ [0,+infty)}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest zmienną losową, tylko nie w chwili \(\displaystyle{ t}\), a w losowej chwili czasu \(\displaystyle{ \tau}\). Co do zadania to przyjrzyj się definicji sigma ciała \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) i zastanów co to znaczy, że \(\displaystyle{ A\in F_{\tau}}\) czy tam u Ciebie \(\displaystyle{ X_{\tau}\in F_{\tau}}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \tau}\) jest momentem Markowa przyjmuje dla każdej \(\displaystyle{ \omega}\) wartość ze zbioru \(\displaystyle{ [0,+infty)}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ X_{\tau}}\) jest zmienną losową, tylko nie w chwili \(\displaystyle{ t}\), a w losowej chwili czasu \(\displaystyle{ \tau}\). Co do zadania to przyjrzyj się definicji sigma ciała \(\displaystyle{ F_{\tau}}\) i zastanów co to znaczy, że \(\displaystyle{ A\in F_{\tau}}\) czy tam u Ciebie \(\displaystyle{ X_{\tau}\in F_{\tau}}\).
-
porucznik
- Użytkownik
- Posty: 214
- Rejestracja: 18 lis 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 13 razy
Moment Markowa, mierzalność zm. los.
\(\displaystyle{ A \in \mathcal{F}_{\tau} \iff (A \in \mathcal{F}) \wedge \left( A \cap \lbrace \tau=n \rbrace \in \mathcal{F}_{n} (\forall n) \right)}\)
Teraz intuicyjnie rozumiem czym jest \(\displaystyle{ X_{\tau}}\), jednak nie bardzo wiem jak formalnie na tym operować. Wątpliwość budzi we mnie jeszcze zapis \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\), czy traktujemy go dosłownie czy też umownie?
Bo przecież \(\displaystyle{ X_{\tau} : (\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow (\mathbb R, \mathcal B (\mathbb R))}\)
więc poprzez mierzalność rozumiemy, że przeciwobrazy zbiorów borelowskich są z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) (a nie obrazy).
@edit:
Niech \(\displaystyle{ T=[0, infty), au < infty}\). Niech \(\displaystyle{ a \in R}\) -dowolne, ustalone. W takim razie dla każdego \(\displaystyle{ t \in T}\) mamy:
\(\displaystyle{ \lbrace \omega \in \Omega: X_{t}(\omega) \leqslant a \rbrace \cap \lbrace \omega \in \Omega : \tau(\omega) = n \rbrace \in \mathcal{F}_{t \wedge n}\subset \mathcal{F}_{n}}\)
bo pierwszy ze zbiorów jest z \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}}\), a drugi \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n}}\)
Czy coś takiego załatwia sprawę? Skoro zachodzi to każdego \(\displaystyle{ t \in T}\), to \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) - mierzalna, więc zastępując chwilę \(\displaystyle{ t}\) losowym momentem \(\displaystyle{ \tau}\) chyba też powinno być ok. Znalazłem pewien dowód tej własności i pojawia się w nim coś takiego co napisałem, jednak brana jest suma zbiorów takiej postaci po \(\displaystyle{ t \leqslant s}\), gdzie \(\displaystyle{ s \in T}\), i nie bardzo wiem skąd ona się wzięła. Mogę prosić o wyjaśnienie ?
Teraz intuicyjnie rozumiem czym jest \(\displaystyle{ X_{\tau}}\), jednak nie bardzo wiem jak formalnie na tym operować. Wątpliwość budzi we mnie jeszcze zapis \(\displaystyle{ X_{\tau} \in \mathcal{F}_{\tau}}\), czy traktujemy go dosłownie czy też umownie?
Bo przecież \(\displaystyle{ X_{\tau} : (\Omega, \mathcal{F}) \rightarrow (\mathbb R, \mathcal B (\mathbb R))}\)
więc poprzez mierzalność rozumiemy, że przeciwobrazy zbiorów borelowskich są z \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) (a nie obrazy).
@edit:
Niech \(\displaystyle{ T=[0, infty), au < infty}\). Niech \(\displaystyle{ a \in R}\) -dowolne, ustalone. W takim razie dla każdego \(\displaystyle{ t \in T}\) mamy:
\(\displaystyle{ \lbrace \omega \in \Omega: X_{t}(\omega) \leqslant a \rbrace \cap \lbrace \omega \in \Omega : \tau(\omega) = n \rbrace \in \mathcal{F}_{t \wedge n}\subset \mathcal{F}_{n}}\)
bo pierwszy ze zbiorów jest z \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t}}\), a drugi \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{n}}\)
Czy coś takiego załatwia sprawę? Skoro zachodzi to każdego \(\displaystyle{ t \in T}\), to \(\displaystyle{ X_{t}}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{\tau}}\) - mierzalna, więc zastępując chwilę \(\displaystyle{ t}\) losowym momentem \(\displaystyle{ \tau}\) chyba też powinno być ok. Znalazłem pewien dowód tej własności i pojawia się w nim coś takiego co napisałem, jednak brana jest suma zbiorów takiej postaci po \(\displaystyle{ t \leqslant s}\), gdzie \(\displaystyle{ s \in T}\), i nie bardzo wiem skąd ona się wzięła. Mogę prosić o wyjaśnienie ?