gęstość zmiennej losowej

[Karolina93]

Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{Y}=2X,}\) jeśli gęstością \(\displaystyle{ f_{X}}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) jest

\(\displaystyle{ f_{X}(x) \begin{cases} 0 \ \ dla \ \ x<0 \\ 2e^{-2x} \ \ dla \ \ x \ge 0 \end{cases}}\)

Co należy najpierw zrobić ? Proszę bardzo o pomoc

[miodzio1988]

z dystrybuanty np mozesz skorzystac.

[Karolina93]

Z jakiej dystrybuanty ? Zmiennej X czy Y ?

[miodzio1988]

zmiennej \(\displaystyle{ Y}\)

[Karolina93]

Mamy \(\displaystyle{ Y=2X}\)
\(\displaystyle{ F_{Y}(x)= P(Y \le x)= P(2X \le x)= P(X\le \frac{1}{2}x)=F_{X}( \frac{1}{2} x)}\)

\(\displaystyle{ F_{Y}(x)= F_{X}( \frac{1}{2} x)= \int_{- \infty }^{ \frac{x}{2} }f(t)dt}\)

Czyli dystrybuanta dla\(\displaystyle{ x<0}\) wynosi 0.

Nie wiem za bardzo jak obliczyć dystrubuantę dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\) ?

[zidan3]

Dla nieujemnych
\(\displaystyle{ F_Y (x)=F_X \left( \frac{x}{2} \right) = \int_{0}^{\frac{x}{2}} 2e^{-2t} \mbox{d}t}\)