Zadanie 1.
Z urny zawierającej \(\displaystyle{ n}\)kul ponumerowanych liczbami od 1 do n losujemy\(\displaystyle{ n}\)razy kolejno po jednej kuli ze zwrotem i zapisujemy kolejno numery kul.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że ani razu nr. kuli nie pokryje się z nr. losowania.
Zadanie 2.
10 ponumerowanych kul rozmieszczamy w 5 ponumerowanych urnach.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna urna będzie zawierała 2 kule.
Rozwiązanie
Zadanie 1.
Niech \(\displaystyle{ A_k}\) - nr. \(\displaystyle{ k}\) tej kuli nie pokryje się z numerem losowania\(\displaystyle{ k=1,2, ... ,n}\) - zdarzenia niezależne
\(\displaystyle{ P(A_k)=\frac{n-1}{n}}\)
\(\displaystyle{ A=\bigcap_{k=1}^{n} A_k}\) - ani razu nr. kuli nie pokryje się z nr. losowania.
\(\displaystyle{ P_n(A)=P_n(\bigcap_{k=1}^{n} A_k)=\prod_{k=1}^{n} P_n(A_k)=\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\)
Zadanie 2.
Niech \(\displaystyle{ A_k}\) - w k-tej urnie znajdą się dokładnie 2 kule. \(\displaystyle{ k=1,2,3,4,5}\)
\(\displaystyle{ A=\bigcup_{k=1}^{5} A_k}\) - co najmniej jedna urna będzie zawierała 2 kule
\(\displaystyle{ P(A_{k_1})=\frac{{10\choose 2}4^8}{5^{10}}}\) - dokładnie w 1 urnie 2 kule
\(\displaystyle{ P(A_{k_1}\cap A_{k_2})=\frac{{10\choose 2}{8\choose 2}3^6}{5^{10}}}\)- dokładnie w 2 urnach 2 kule
\(\displaystyle{ P(A_{k_1}\cap A_{k_2}\cap A_{k_3})=\frac{{10\choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}2^4}{5^{10}}}\)- dokładnie w 3 urnach 2 kule
\(\displaystyle{ P(A_{k_1}\cap A_{k_2}\cap A_{k_3}\cap A_{k_4})=\frac{{10\choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}1^2}{5^{10}}}\)- dokładnie w 4 urnach 2 kule (\(\displaystyle{ \iff}\) w każdej urnie 2 kule)
\(\displaystyle{ P(A_{k_1}\cap A_{k_2}\cap A_{k_3}\cap A_{k_4}\cap A_{k_5})=\frac{{10\choose 2}{8\choose 2}{6\choose 2}{4\choose 2}{2\choose 2}}{5^{10}}}\)- w każdej urnie 2 kule.
Ze wzoru włączeń i wyłączeń mamy:
\(\displaystyle{ P(A)=\sum_{k=1}^{5}P(A_k)-\sum_{1\leq k_1}\)