prawdopodobieństwo geometryczne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
koksiu15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czermno
Podziękował: 25 razy

prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: koksiu15 »

Na nieskonczona szachownice o boku kwadratu równym \(\displaystyle{ a}\) rzucamy monete o srednicy \(\displaystyle{ 2r < a}\). Obliczyc
prawdopodobienstwo, ze
a. moneta wpadnie calkowicie we wnetrze jednego z pól;
Ostatnio zmieniony 7 sty 2014, o 16:12 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Stosuj LaTeX do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: kropka+ »

Najpierw trzeba rozważyć to prawdopodobieństwo dla jednego pola szachownicy o boku \(\displaystyle{ a}\) i monety o średnicy \(\displaystyle{ 2R<a}\). Jeśli moneta leży pośrodku pola (jej środek leży w punkcie przecięcia przekątnych pola szachownicy), to moneta jest od każdego boku pola o \(\displaystyle{ \frac{a-2R}{2}}\). Zastanówmy się jak można przesuwać monetę, żeby nadal znajdowała się w polu szachownicy. Okazuje się, że środek monety nie może znajdować się poza kwadratem o boku \(\displaystyle{ a-2R}\), którego przekątne przecinają się w tym samym punkcie co przekątne pola szachownicy. Prawdopodobieństwo geometryczne jest więc ilorazem pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ a-2R}\) i pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\). Czyli

\(\displaystyle{ P _{1} = \frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\).

W szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ na \times na}\) mamy \(\displaystyle{ n ^{2}}\) pól szachownicy i tyle samo kwadratów,związanych ze środkiem monety. Czyli

\(\displaystyle{ P _{n}= \frac{n ^{2} (a-2R) ^{2}}{n ^{2}a ^{2} }=P _{1}}\)

Gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) liczymy granicę \(\displaystyle{ P _{n}}\) i ona również wynosi \(\displaystyle{ P _{1}}\), więc

\(\displaystyle{ P _{ \infty }=\frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\)
koksiu15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czermno
Podziękował: 25 razy

prawdopodobieństwo geometryczne

Post autor: koksiu15 »

dzieki bardzo
ODPOWIEDZ