Na nieskonczona szachownice o boku kwadratu równym \(\displaystyle{ a}\) rzucamy monete o srednicy \(\displaystyle{ 2r < a}\). Obliczyc
prawdopodobienstwo, ze
a. moneta wpadnie calkowicie we wnetrze jednego z pól;
prawdopodobieństwo geometryczne
- kropka+
- Użytkownik
- Posty: 4389
- Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 787 razy
prawdopodobieństwo geometryczne
Najpierw trzeba rozważyć to prawdopodobieństwo dla jednego pola szachownicy o boku \(\displaystyle{ a}\) i monety o średnicy \(\displaystyle{ 2R<a}\). Jeśli moneta leży pośrodku pola (jej środek leży w punkcie przecięcia przekątnych pola szachownicy), to moneta jest od każdego boku pola o \(\displaystyle{ \frac{a-2R}{2}}\). Zastanówmy się jak można przesuwać monetę, żeby nadal znajdowała się w polu szachownicy. Okazuje się, że środek monety nie może znajdować się poza kwadratem o boku \(\displaystyle{ a-2R}\), którego przekątne przecinają się w tym samym punkcie co przekątne pola szachownicy. Prawdopodobieństwo geometryczne jest więc ilorazem pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ a-2R}\) i pola kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\). Czyli
\(\displaystyle{ P _{1} = \frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\).
W szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ na \times na}\) mamy \(\displaystyle{ n ^{2}}\) pól szachownicy i tyle samo kwadratów,związanych ze środkiem monety. Czyli
\(\displaystyle{ P _{n}= \frac{n ^{2} (a-2R) ^{2}}{n ^{2}a ^{2} }=P _{1}}\)
Gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) liczymy granicę \(\displaystyle{ P _{n}}\) i ona również wynosi \(\displaystyle{ P _{1}}\), więc
\(\displaystyle{ P _{ \infty }=\frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ P _{1} = \frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\).
W szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ na \times na}\) mamy \(\displaystyle{ n ^{2}}\) pól szachownicy i tyle samo kwadratów,związanych ze środkiem monety. Czyli
\(\displaystyle{ P _{n}= \frac{n ^{2} (a-2R) ^{2}}{n ^{2}a ^{2} }=P _{1}}\)
Gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) liczymy granicę \(\displaystyle{ P _{n}}\) i ona również wynosi \(\displaystyle{ P _{1}}\), więc
\(\displaystyle{ P _{ \infty }=\frac{(a-2R) ^{2} }{a ^{2} }}\)