Urna i kule

[Robczan]

Z urny losujemy kulę. Jeśli wylosowaliśmy kulę czarną lub zieloną, to zwracamy ją do urny, jeśli białą - zwracamy do urny i dokładamy kule: białą, czarną i zieloną. Następnie znowu losujemy kulę i postępujemy tak, jak poprzednio. Początkowo w urnie jest jedna kula biała i jedna czarna. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że w ciągu 8 losowań otrzymamy dokładnie raz kulę białą i 7 razy kulę czarną?

Po kilkunastu minutach przemyśleń, których nie będę tu opisywał bo mogą się okazać całkowicie błędne, wyszło mi takie cuś:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\right)^8+\left(\frac{1}{2}\right)^7\times\left(\frac{2}{5}\right)^1+\left( \frac{1}{2} \right)^6\times\left(\frac{2}{5}\right)^2+...+\left(\frac{2}{5}\right)^8=}\)ileśtam.

Pomóżcie!

[loitzl9006]

Powiem tak: niezłe przemyślenia, ogólnie to jest prawie dobrze; nie zgadza się tylko to ostatnie \(\displaystyle{ \left( \frac25\right)^8}\). Popatrz na treść zadania jak ta cała gra się zaczyna:

Początkowo w urnie jest jedna kula biała i jedna czarna.

zatem mamy szansę \(\displaystyle{ \frac12}\) na wylosowanie białej w pierwszym losowaniu, i potem same czarne więc \(\displaystyle{ \left( \frac25\right)^7}\)

prawidłowa odp wg mnie to

\(\displaystyle{ \left( \frac12\right)^8+ \left( \frac12\right)^7\cdot\left( \frac25\right)^1+\left( \frac12\right)^6\cdot\left( \frac25\right)^2+...+\left( \frac12\right)^1\cdot\left( \frac25\right)^7}\)

[Robczan]

Racja, umknęło mi to. Dzięki!