wartość oczekiwana
-
gelusia
- Użytkownik
- Posty: 36
- Rejestracja: 20 paź 2012, o 09:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraśnik
- Podziękował: 3 razy
wartość oczekiwana
Witam, jak obliczyć \(\displaystyle{ EX ^{4}}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X(\omega)=\begin{cases} \omega , dla \omega \in \left[ 0,1\right] \\ 2-\omega, dla \omega \in \left( 1,2\right]\end{cases}}\)
-
szw1710
wartość oczekiwana
Jaka jest przestrzeń probabilistyczna omawiana w zadaniu? Zmienna losowa przypisuje zdarzeniom liczby. Więc musimy mieć przestrzeń probabilistyczną. Rozumiem, że \(\displaystyle{ \Omega=[0,2]}\). Ale trzeba teraz określić sigma-ciało zdarzeń oraz prawdopodobieństwo, czyli miarę probabilistyczną na tym sigma-ciele.
Najbardziej naturalne będzie tu sigma-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a oraz miara probabilistyczna \(\displaystyle{ \mu=\frac{1}{2}\lambda}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a. Tak więc \(\displaystyle{ \int_0^2 f\dd\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dd x}\).
W tych oznaczeniach mamy \(\displaystyle{ E[X^4]=\frac{1}{2}\int_0^2 X^4(\omega)\dd\omega}\).
Ale zauważamy, że wykres funkcji \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczny względem jedynki, tak więc mamy \(\displaystyle{ E[X^4]=\int_0^1\omega^4\dd\omega=\frac{1}{5}}\).
Postaraj się zrozumieć co napisałem. Może to zająć odrobinę czasu. Moje rozwiązanie wiodło nie przez gęstość zmiennej losowej, a przez podejście miarowe. Jeśli dana jest przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ (\Omega,\Sigma,P)}\) oraz zmienna losowa \(\displaystyle{ X:\Omega\to\RR}\), to \(\displaystyle{ EX=\int\limits_{\Omega}X\dd P}\).
Najbardziej naturalne będzie tu sigma-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a oraz miara probabilistyczna \(\displaystyle{ \mu=\frac{1}{2}\lambda}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a. Tak więc \(\displaystyle{ \int_0^2 f\dd\mu=\frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\dd x}\).
W tych oznaczeniach mamy \(\displaystyle{ E[X^4]=\frac{1}{2}\int_0^2 X^4(\omega)\dd\omega}\).
Ale zauważamy, że wykres funkcji \(\displaystyle{ X}\) jest symetryczny względem jedynki, tak więc mamy \(\displaystyle{ E[X^4]=\int_0^1\omega^4\dd\omega=\frac{1}{5}}\).
Postaraj się zrozumieć co napisałem. Może to zająć odrobinę czasu. Moje rozwiązanie wiodło nie przez gęstość zmiennej losowej, a przez podejście miarowe. Jeśli dana jest przestrzeń probabilistyczna \(\displaystyle{ (\Omega,\Sigma,P)}\) oraz zmienna losowa \(\displaystyle{ X:\Omega\to\RR}\), to \(\displaystyle{ EX=\int\limits_{\Omega}X\dd P}\).