Suma zmiennych losowych a mierzalność wzgl. sigma ciała

[fuqs]

Powiedzmy, że \(\displaystyle{ (X _{n}) _{n \in \mathbb{N}}}\) jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie (dajmy na to, że jednostajnym na \(\displaystyle{ [-1,1]}\)).

Czy wtedy zmienna \(\displaystyle{ Y_{k}=X _{1} + \dots + X_{k}}\) jest mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma(X_{1}, \dots , X_{k})}\) ?


Wydaje mi się, że tak. Ale jak formalnie to uzasadnić? I które z tych założeń o zmiennych \(\displaystyle{ X_{n}}\) są tu ważne?

[szw1710]

Co rozumiesz przez \(\displaystyle{ \sigma(X_{1}, \dots , X_{k})}\)?

[fuqs]

Co rozumiesz przez \(\displaystyle{ \sigma(X_{1}, \dots , X_{k})}\)?

Sigma ciało generowane przez zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},\dots , X_{k}}\)

[szw1710]

Czyli? Z reguły sigma-ciało generuje rodzina zbiorów.

[fuqs]

Wydawało mi się, że to jest poprawne i powszechne określenie, ale sprecyzuję:

\(\displaystyle{ \sigma(X_{1}, \dots , X_{k})}\)

to sigma ciało generowane przez przeciwobrazy wszystkich zbiorów borelowskich poprzez te zmienne losowe.

[szw1710]

Teraz OK. Jak wygląda przeciwobraz \(\displaystyle{ Y_k^{-1}(A)}\)? To sobie trzeba uświadomić. Sigma-ciało jest dość specyficzne. Ogólnie suma funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną. Popatrz na dowód tego faktu i spróbuj go zaadaptować.

[fuqs]

Dla zmiennych \(\displaystyle{ X_{i}(x) + X_{j}(x)<t}\) Zauważamy, że:

\(\displaystyle{ X_{i}(x)<t-X_{j}(x) \Leftrightarrow \exists r \in \mathbb{Q} : X_{i}(x)<r<t-X_{j}(x)}\)

A więc teraz mamy:

\(\displaystyle{ \left\{ x: X_{i}(x)<t-X_{j}(x) \right\} = \bigcup_{ r \in \mathbb{Q}}^{} \left[ X _{i} ^{-1}((-\infty , r)\cap [-1,1]) \cap X _{j} ^{-1}((-\infty , t-r)\cap [-1,1])\right]}\)


edit: Chyba jednak nie tak...-- 2 stycznia 2014, 16:27 --

Teraz OK. Jak wygląda przeciwobraz \(\displaystyle{ Y_k^{-1}(A)}\)? To sobie trzeba uświadomić.

Na pewno jest mierzalny, ale czy coś więcej można o nim powiedzieć?

[frej]

Zachodzi takie twierdzenie:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z}\) jest \(\displaystyle{ \sigma (X_1, X_2, \ldots , X_n)}\) mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ Z=f(X_1, X_2, \ldots ,X_n)}\) dla pewnej funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ f}\).