Prawdopodobieństwo zbiory.

[rafalpw]

No to w takim razie inaczej:

Wiemy, że zbiór pusty jest rozłączny z każdym zbiorem, więc jak wylosujemy za pierwszym razem zbiór pusty, to później nieważne co wylosujemy, bo i tak będą rozłączne, czyli \(\displaystyle{ 2^n}\) możliwości.

Jeśli za pierwszym razem wylosujemy zbiór jednoelementowy, to za drugim razem musimy wylosować dowolny zbiór niezawierający tego elementu, czyli wybieramy dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ n-1}\) elementowego, czyli \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) możliwości i tak dla dowolnego elementu, których jest \(\displaystyle{ n}\), czyli \(\displaystyle{ n \cdot 2^{n-1}}\) możliwości.

Dalej dla \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ {n \choose k}2^{n-k}}\), bo \(\displaystyle{ k}\) elementów zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego można wybrać właśnie na \(\displaystyle{ {n \choose k}}\) sposobów, czyli liczba wszystkich takich zdarzeń wynosi:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 2^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{k} \cdot 2^{n-k}}\) , a to jak widzimy, jest wzór dwumianowy Newtona, czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\cdot 1^{k} \cdot 2^{n-k}=\left( 1+2\right)^n=3^n}\).

[matematyk1995]

Dalej dla k:

\(\displaystyle{ {n \choose k}2^{n-k}}\), czyli liczba wszystkich takich zdarzeń wynosi:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 2^{n-k}=\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 1^{k} \cdot 2^{n-k}}\) , a to jak widzimy, jest wzór dwumianowy Newtona, czyli:

\(\displaystyle{ sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\cdot 1^{k} \cdot 2^{n-k}=\left( 1+2\right)^n=3^n}\).

To jest abstrakcją dla mnie. Nie da się tego zrobić bez sumowania?

[rafalpw]

Co dokładnie jest abstrakcją? Znak sumy? Pewnie się da zrobić inaczej, ale wydaje mi się, że tak jest w miarę prosto i szybko.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot 2^{n-k}=2^n+n2^{n-1}+ {n \choose 2}2^{n-2}+...+ {n \choose n-2}2^2+ {n \choose n-1}2+ {n \choose n}}\).

Znak sumy to jest tylko uproszczenie zapisu.

[matematyk1995]

Ta suma mnie zmyliła. Wzór znam to już jest jasne.

Wielkie dzięki za pomoc.