Prawdopodobieństwo zbiory.

[matematyk1995]

Dany jest n-elementowy zbiór S.Ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru S losujemy kolejno ze zwracaniem dwa zbiory
(prawdopodobieństwo wylosowania każdego zbioru jest jednakowe).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
A: przynajmniej jeden z wylosowanych zbiorów jest zbiorem pustym,
B: każdy z wylosowanych zbiorów ma dokładnie n-1 elementów,
C: wylosowane zbiory są rozłączne.


Jak to ruszyć?

\(\displaystyle{ |\Omega|= W_{2}^{n} = 2^n}\) ?
Nie mam na to wgl pomysłu.
Proszę o pomoc.

[rafalpw]

A. policz zdarzenie przeciwne, czyli oba wylosowane zbiory są niepuste.

[matematyk1995]

A co z mocą omegi? Dobrze jest?
Bo widziałem gdzieś takie coś: \(\displaystyle{ |\Omega|= W_{2}^{n} \cdot W_{2}^{n}= 2^n \cdot 2^n}\)

[rafalpw]

Musi, być \(\displaystyle{ 2^n \cdot 2^n}\) , bo losujemy dwa razy.

[matematyk1995]

To już wiem. A do B jakaś podpowiedź ?

[rafalpw]

A ile jest zbiorów o liczności \(\displaystyle{ n-1}\) ?

[matematyk1995]

O liczności \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ 1}\) i jest to zbiór S, więc o liczności \(\displaystyle{ n-1}\) jest \(\displaystyle{ 2^n-1}\) zbiorów? Tak?

edit:
Trzeba jeszcze odjąć zbiory o liczności \(\displaystyle{ n-2 , n-3}\) itp

[rafalpw]

Dlatego pytalem o zbiory liczności dokladnie \(\displaystyle{ n-1}\), a nie co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\). Podpowiem, że jest ich tyle samo co zbiorów liczności \(\displaystyle{ 1}\).

[matematyk1995]

Czyli n? Ale czemu tak jest ?

[rafalpw]

Tak, n. Wynika to z tego, że każdy podzbiór można jednoznacznie wyznaczyć przez elementy, które nie należą do tego zbioru. A dla każdego zbioru \(\displaystyle{ \left( n-1\right)}\) elementowego zbiór elementów do niego nienależących ma liczność \(\displaystyle{ 1}\).

Wynika to również z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose n-1}= {n \choose 1}}\).

[matematyk1995]

Wszystko już rozumiem. Pozostało C.
Na to zdarzenie nie mam już wgl pomysłu.

[rafalpw]

Każdy wylosowany podzbiór można utożsamić z ciągiem \(\displaystyle{ 0-1}\) długości \(\displaystyle{ n}\). To, że zbiory są rozłączne oznacza, że na żadnym miejscu tych ciągów nie może jednocześnie stać jedynka.

Niech \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza liczbę zdarzeń takich, że na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu w obu ciągach stoi jedynka.

Spróbuj policzyć \(\displaystyle{ \left| A_k\right|}\).

[matematyk1995]

Nie mam pojęcia...

[rafalpw]

A była zasada włączeń i wyłączeń?

[matematyk1995]

Nie znam czegoś takiego.