Witam.
Problem mam banalny.
Potrzebuję definicji wersji procesu, własności oraz jakiś przykład. Przeszukałam notatki, Internet ale znajduję tylko tw. Kołmogorowa i nic poza tym.
Proszę o pomoc.
wersja procesu stochastycznego
-
szw1710
wersja procesu stochastycznego
A nie chodzi czasem o realizację procesu? Jeśli \(\displaystyle{ \{X_t:t>0\}}\) jest procesem stochastycznym, to jego realizacjami (trajektoriami) są wszystkie rodziny \(\displaystyle{ \{X_t(\omega):t>0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega\in\Omega}\), a \(\displaystyle{ X_t:\Omega\to\RR}\).
-
pawels
- Użytkownik
- Posty: 304
- Rejestracja: 5 wrz 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 33 razy
wersja procesu stochastycznego
W kontekście twierdzenia Kołmogorowa słyszałem o modyfikacjach i procesach nierozróżnialnych- być może o to chodzi.
Niech \(\displaystyle{ (X_t),(Y_t)}\) będą procesami określonymi na tej samej przestrzeni. Wówczas powiemy, że \(\displaystyle{ (X_t)}\) jest modyfikacją (jest stochastycznie równoważny) \(\displaystyle{ (Y_t)}\), jeżeli \(\displaystyle{ \forall_t \mathbb{P}(X_t=Y_t)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (X_t)}\) i \(\displaystyle{ (Y_t)}\) są nierozróżnialne, gdy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_t X_t=Y_t)=1}\).
U mnie twierdzenie, o które Ci zapewne chodzi, zostało nazwane twierdzeniem Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji.
Prawdziwe jest twierdzenie, że procesy nierozróżnialne są stochastycznie równoważne, a stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład oraz żadnej z tych implikacji nie można odwrócić.
Prosty przykład dla pierwszej implikacji jest taki: weźmy proces stale równy \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) i drugi proces, taki że dla pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\), o bezatomowym rozkładnie na \(\displaystyle{ [0,1]}\), niezależnej od naszego procesu jest skok do \(\displaystyle{ 2}\) w punkcje \(\displaystyle{ Z}\) i jest potem dalej równy \(\displaystyle{ 1}\).
Dla drugiej jest jeszcze prostszy przykład- rozważmy proces, który ma tylko dwie trajektorie: jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\), z równym pstwem. Wówczas on i minus on mają ten sam rozkład, a prawie na pewno nie zgadzają się w żadnym punkcie.
Niech \(\displaystyle{ (X_t),(Y_t)}\) będą procesami określonymi na tej samej przestrzeni. Wówczas powiemy, że \(\displaystyle{ (X_t)}\) jest modyfikacją (jest stochastycznie równoważny) \(\displaystyle{ (Y_t)}\), jeżeli \(\displaystyle{ \forall_t \mathbb{P}(X_t=Y_t)=1}\) oraz \(\displaystyle{ (X_t)}\) i \(\displaystyle{ (Y_t)}\) są nierozróżnialne, gdy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(\forall_t X_t=Y_t)=1}\).
U mnie twierdzenie, o które Ci zapewne chodzi, zostało nazwane twierdzeniem Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji.
Prawdziwe jest twierdzenie, że procesy nierozróżnialne są stochastycznie równoważne, a stochastycznie równoważne mają ten sam rozkład oraz żadnej z tych implikacji nie można odwrócić.
Prosty przykład dla pierwszej implikacji jest taki: weźmy proces stale równy \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ [0,1]}\) i drugi proces, taki że dla pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\), o bezatomowym rozkładnie na \(\displaystyle{ [0,1]}\), niezależnej od naszego procesu jest skok do \(\displaystyle{ 2}\) w punkcje \(\displaystyle{ Z}\) i jest potem dalej równy \(\displaystyle{ 1}\).
Dla drugiej jest jeszcze prostszy przykład- rozważmy proces, który ma tylko dwie trajektorie: jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\), z równym pstwem. Wówczas on i minus on mają ten sam rozkład, a prawie na pewno nie zgadzają się w żadnym punkcie.
wersja procesu stochastycznego
Nie, na pewno nie chodzi o definicję trajektoriiszw1710 pisze:A nie chodzi czasem o realizację procesu? Jeśli \(\displaystyle{ \{X_t:t>0\}}\) jest procesem stochastycznym, to jego realizacjami (trajektoriami) są wszystkie rodziny \(\displaystyle{ \{X_t(\omega):t>0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega\in\Omega}\), a \(\displaystyle{ X_t:\Omega\to\RR}\).
-- 27 gru 2013, o 10:18 --
Być może o to chodzi.pawels pisze: U mnie twierdzenie, o które Ci zapewne chodzi, zostało nazwane twierdzeniem Kołmogorowa o istnieniu modyfikacji.
Dostałam listę zagadnień na egzamin i tw.Kołmogorowa o istnieniu procesu oraz tw.Kołmogorowa o ciągłości są w osobnych punktach.
Dlatego nie mam pojęcia o co może chodzić. Być może mam podać jakąś definicję modyfikacji procesu, albo właśnie to, co podałeś.