Prawdopodobieństwo ruiny i równanie Chapmana-Kołmogorowa

[pawels]

Witam.

Ostatnio spędziłem sporo czasu nad następującym zadaniem:
Mamy proces \(\displaystyle{ C_n=w+nu-\sum\limits_{i=1}^n X_i}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) to niezależne zmienne losowe o rozkładnie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ w=4\ln 2, \ u=2\ln 2}\). Zadanie polega na policzeniu prawdopodobieństwa zdarzenia, polegającego na tym że w którymś momencie wartość naszego procesu przestanie być dodatnia.

Przypuszczam, że istnieje rozwiązanie angażujące wyłącznie naprawdę podstawowe metody rachunku prawdopodobieństwa, ale jakkolwiek się za nie nie zabieram nie umiem doprowadzić rachunków do końca...

Jeżeli rozważymy stowarzyszony proces markowa, o przestrzeni stanów \(\displaystyle{ E=[0,+\infty)]}\), startujący w \(\displaystyle{ w}\), który w każdym etapie rośnie o \(\displaystyle{ u-X_n}\), chyba że miałby spaść poniżej zera i trafiający wówczas w stan pochłaniający w zerze, to zadanie sprowadza się do policzenia pstwa, że trafimy kiedykolwiek w stan zerowy.

Niech \(\displaystyle{ P(y,k,A)}\) oznacza pstwo trafienia do zbioru \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ k}\) krokach, startując z \(\displaystyle{ y}\). \(\displaystyle{ P(x,n,\cdot)}\) to, dla dowolnych \(\displaystyle{ x,n}\), rozkład na \(\displaystyle{ E}\) i zachodzi wzór \(\displaystyle{ P(x,n+k,A)=\int_E P(y,k,A) P(x,n,dy)}\) (przez ten zapis rozumiem całkę względem miary o której pisałem na początku zdania) analogiczny do klasycznego równania Chapmana-Kołmogorowa dla jednorodnych łańcuchów markowa z czasem dyskretnym.

W naszym przypadku otrzymamy:
\(\displaystyle{ \displaymath P(y,n,A)=\begin{cases} 0 &\text{dla } y=0 \text{ i } 0\not\in A \\
1 &\text{dla } y=0 \text{ i } 0\in A \\
\exp(-y-u) &\text{dla } y\neq 0 \text{ i } 0\not\in A \\
\exp(-y-u)+\int_{\mathbb{R}^+}1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{\{x<y+u\}} P(x,n-1,A) \exp(x-y-u) \text{d}x &\text{dla } y\neq0 \text{ i } 0\not\in A \end{cases}}\)

(pierwsze trzy przypadki są proste, a w ostatnim rozbijamy naszą całkę na sumę całek po \(\displaystyle{ \{0\}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^+}\), przy czym w drugim przypadku rozkład względem którego całkujemy ma gęstość względem miary Lebesgue'a).

Stosując powyższy wzór dla \(\displaystyle{ y=w}\) i \(\displaystyle{ A=\{0\}}\), rozpisując trzy pierwsze wyrazy, zgadując, a następnie sprawdzając za pomocą prostej indukcji, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \displaymath P(y,n,\{0\})=\begin{cases} 1 &\text{dla } y=0 \\
\frac{1}{(n-1)!}(u+y)((n+1)u+y)^{n-1}\exp(-y-nu) &\text{wpp} \end{cases}}\) .

Wydaje się, że monotoniczność ostatniego wyrażenia nie powinna zależeć od \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ y}\), jednakże dla pewnych danych jest to funkcja malejąca względem \(\displaystyle{ n}\) (co jest oczywiście niedorzeczne, ponieważ są to prawdopodobieństwa ciągu zdarzeń rosnącego z sensie inkluzji), a co gorsza dla danych z zadania rozbiega do nieskończoności...

Byłbym wdzięczny gdyby ktokolwiek umiał zaproponować inne rozwiązanie (w moim granica \(\displaystyle{ \displaymath P(y,n,\{0\})}\) powinna stanowić odpowiedź) albo sprawdzić to co zrobiłem i wskazać lukę w tym co napisałem. Dodam, że w zadaniu zaproponowane zostało pięć odpowiedzi i stanowią one postęp geometryczny o wyrazie początkowym \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) i mnożniku (?nie wiem jak to coś się nazywa?) \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}\).

[Lider Artur]

To prawdopodobieństwo można wyrazić w postaci rekurencyjnej.
W książce prof. Otto znajdziesz wskazówki.