Rozkład Poissona

[Krex]

Witam,

mam problem z pewnym zadaniem o następującej treści:
Pewna choroba występuje u \(\displaystyle{ 1\%}\) osobników danej populacji. Używając rozkładu Poissona odpowiedz na pytania:
a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych \(\displaystyle{ 400}\) osób tej populacji dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) osoby okażą się chore?
b) Ile osób należy zbadać, aby prawdopodobieństwo znalezienia chorego wynosiło co najmniej \(\displaystyle{ 0,9}\)? Znajdź najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą powyższy warunek.

O ile z podpunktem "a" sobie poradziłem i uzyskałem dobrą wartość, o tyle z podpunktem "b" nie mogę sobie dać rady. Próbowałem ułożyć nierówność:

\(\displaystyle{ 0,9 \le 0,01 \cdot n \cdot e^{-0,01 \cdot n}}\)

Uwzględniłem tutaj, że \(\displaystyle{ k=1}\), bo ma być \(\displaystyle{ 1}\) chory. Prawdopodobieństwo wystąpienia choroby \(\displaystyle{ p = 0,01}\). Lambdę rozpisałem tak samo jak w podpunkcie a, czyli \(\displaystyle{ \lambda= n \cdot p}\). I w ten sposób dostałem powyższą nierówność. Ale coś musi być nie tak - albo źle się za to zabieram albo zrobiłem gdzieś głupi błąd, ponieważ odpowiedź do zadania znam i wstawiając ją do powyższej nierówności wychodzą bzdury. A chciałbym wiedzieć jak sobie radzić z takimi przypadkami, dlatego proszę o jakąś wskazówkę co jest źle, czy w ogóle dobrze myślę układając taką nierówność?

[Gadziu]

Źle myślisz... Nie taki jest wzór na Poissona, a z resztą to musisz zanalizować dystrybuantę, a nie pojedyncze prawdopodobieństwo...

[Krex]

No rozwiązałem to w ten sposób, o którym mówiłeś, czyli korzystając z dystrybuanty. Odpowiedź wyszła dobra, jednakże prosiłbym o sprawdzenie, bo wiadomo, że z bzdur też może wyjść dobrze, a ja akurat z rachunku prawdopodobieństwa zbyt dobry nie jestem. Zatem rozwiązałem to tak:

\(\displaystyle{ F= \frac{\Gamma(k+1,\lambda)}{k!} = \frac{Exp(\lambda)}{k!} \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ 1 - e^{-\lambda \cdot x} \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ 1 - e^{-n \cdot p \cdot x} \ge 0,9}\)

Przyjąłem tak:
\(\displaystyle{ \lambda = n \cdot p = n \cdot 0,01}\)
x = 1 (i właśnie - co to jest tak naprawdę ten x? Nie bardzo udało mi się znaleźć na ten temat informację, więc uznałem, że ten x jest tym samym co k)


Zatem:
\(\displaystyle{ 1 - e^{-0,01 \cdot n} \ge 0,9}\)
\(\displaystyle{ -e^{-0,01 \cdot n} \ge -0,1}\)
\(\displaystyle{ e^{-0,01 \cdot n} \le 0,1}\)
\(\displaystyle{ \ln0,1 \le -0,01 \cdot n}\)
\(\displaystyle{ -2,3 \le -0,01 \cdot n}\)
\(\displaystyle{ 230 \ge n}\)

[Gadziu]

Coś nie rozumiem twoich przeliczeń nagle z \(\displaystyle{ \frac{Exp(\lambda)}{k!} \ge 0,9}\) powstaje \(\displaystyle{ 1 - e^{-\lambda \cdot x} \ge 0,9}\)? A co do x to on w ogóle w tym wzorze nie występuję. A co do wyniku który ci wyszedł to jest coś nie tak... Było pytanie ile osób należy zbadać by prawdopodobieństwo było co najmniej \(\displaystyle{ 0,9}\), a tobie wyszło, że może być maksymalnie \(\displaystyle{ 230}\) osób. Coś tu nie gra...

[Krex]

Wzór na dystrybuantę rozkładu wykładniczego wziąłem z wikipedii:
... %82adniczy

Masz rację, nierówność powinna być w drugą stronę, ale liczba jest dobra, więc być może mam błąd w samym znaku nierówności. No chyba, że kompletnie inaczej się to robi i zabieram się za to od złej strony. Nie miałem tego na zajęciach i po prostu próbowałem pójść za Twoją wskazówką.

[Gadziu]

No poszedłeś i to dobry trop, tylko wytłumacz mi skąd z \(\displaystyle{ \frac{Exp(\lambda)}{k!} \ge 0,9}\) wzięło się \(\displaystyle{ 1 - e^{-\lambda \cdot x} \ge 0,9}\) Pokaż po kolei co zrobiłeś.

[Krex]

Za k przyjąłem 1, bo ma być 1 chory, natomiast za \(\displaystyle{ Exp(\lambda)}\) podstawiłem wzór na dystrybuantę rozkładu wykładniczego, który znalazłem na wikipedii.

P.S.
Jeszcze mi tak do głowy przyszło, że może to nie jest dystrybuanta i należy podstawić po prostu \(\displaystyle{ e^{-\lambda}}\) ?