Witam, otóż dostałem poniższe zadanie do rozwiązania:
Jednowymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o funkcji gęstości
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\begin{cases} c \sqrt{x} + x &\text{ dla } x \in \left\langle 0,1 \right\rangle\\0 &\text{ dla } x\not\in \left\langle 0,1 \right\rangle \end{cases}}\)
a) wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ c}\)
b) obliczyć \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ D^{2}X}\)
c) wyznaczyć funkcję gęstości rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\sqrt{X}-2}\)
Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu podpunktów . I przy okazji do podpunktu a - stała \(\displaystyle{ c=0}\) ? czy może coś źle obliczyłem ?
Jednowymiarowa zmienna losowa
-
latino_22
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 28 sty 2008, o 19:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 5 razy
Jednowymiarowa zmienna losowa
Ostatnio zmieniony 17 gru 2013, o 22:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
-
kieubass
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 15 gru 2010, o 23:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kutno
- Podziękował: 58 razy
- Pomógł: 9 razy
Jednowymiarowa zmienna losowa
No to co? Najpierw małe wprowadzonko teoretyczne Znamy związek między dystrybuantą, a gęstością? Jak nie to go przytoczę:
Całka z gęstości to dystrybuanta, a pochodna dystrybuanty to gęstość
Zaraz z tego skorzystamy, ale najpierw zauważmy jedną rzecz, a mianowicie to, że jeżeli funkcja gęstości jest dana klamrowo i zeruje się na przedziale \(\displaystyle{ x\notin \left\langle 0,1\right\rangle}\) to można powiedzieć, że na tym przedziale nie istnieje (tak tylko dla siebie ). Skoro gęstość jest pochodną dystrybuanty, to jakie liczby mogliśmy mieć żeby otrzymać z nich pochodną równą zero? Musiały to być jakieś stałe, prawda? Ale że dystrybuanta musi być ciągła i w \(\displaystyle{ -\infty}\) mieć granicę \(\displaystyle{ 0}\) oraz w \(\displaystyle{ +\infty}\) mieć granicę \(\displaystyle{ 1}\) to to są właśnie wartości naszej dystrybuanty odpowiednio dla \(\displaystyle{ x\in\left( -\infty, 0\right)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in\left( 1, +\infty\right)}\) Więc możemy już napisać to co wiemy od razu odnośnie dystrybuanty, bez obliczeń, a jedynie korzystając z jej logicznych własności:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \int c \sqrt{x} +x \mbox{d}x \hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 \hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Widzimy więc jaką całeczkę mamy do policzenia no to jedziemy!
\(\displaystyle{ \int c \sqrt{x} +x \mbox{d}x = \int c \sqrt{x} \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c\int \sqrt{x} \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c \int x^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c \cdot \frac{2}{3} \cdot x ^{ \frac{3}{2} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{2c}{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = F\left( x\right)}\)
I teraz wiedząc, że dystrybuanta musi być funkcją ciągłą (prawostronnie lub lewostronnie, to się zmieniło jakiś czas temu, ale nieważne, ma być ogólnie ciągła) zatem granica naszego wyrażenia ma być równa \(\displaystyle{ 0}\) prawostronnie w zerze, oraz \(\displaystyle{ 1}\) lewostronnie w jedynce Ale, że te wartości są przyjmowane (mamy bowiem przedział obustronnie domknięty), to możemy wstawić te argumenty
\(\displaystyle{ F\left( 0\right) =0 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} \sqrt{0 ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot 0 ^{2} = 0 \Leftrightarrow 0=0}\)
Czyli w zerze zeruje się dla każdego \(\displaystyle{ c\in \mathbb{R}}\) więc ogólnie lipka, nic się nie wyjaśniło... To popróbujemy z wartością w jedynce
\(\displaystyle{ F\left( 1\right) =1 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} \sqrt{1 ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} =1 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} + \frac{1}{2} =1 \Leftrightarrow 4c+3=6 \Leftrightarrow 4c=3 \Leftrightarrow c= \frac{3}{4}}\)
I włala, mamy policzoną naszą stałą \(\displaystyle{ c}\)
Niby nie chcą tego od nas, ale można napisać wzór na dystrybuantę, bo wiemy już o niej prawie wszystko Podstawmy tą naszą wyliczoną stałą:
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot \frac{3}{4} }{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{\frac{6}{4} }{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{6}{12} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{1}{2} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right)}\)
Podstawiamy więc:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) \hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 \hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
I mamy gotową dystrybuantę, prawda że piękna?
-- 18 gru 2013, o 01:10 --
Teraz podpunkt b)
Mamy następujące wzory na wartość oczekiwaną oraz wariancję w rozkładzie ciągłym, dysponując ich gęstością:
1) \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[ \varphi\left( X\right)\right] = \int_{\mathbb{R}} \varphi\left( x\right) \cdot f_{X}\left( x\right) \mbox{d}x}\)
Zauważmy tutaj, że na zmienną \(\displaystyle{ X}\) działa funkcja identycznościowa \(\displaystyle{ \varphi\left( X\right) =X}\), zatem nasz wzór w tym wypadku upraszcza się do postaci:
1*) \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{\mathbb{R}} x \cdot f_{X}\left( x\right)}\)
Mamy naszą funkcję gęstości podaną, widać na jakim przedziale ona istnieje, więc dla uproszczenia rachunków założymy, że \(\displaystyle{ x\in\left\langle 0,1\right\rangle}\) i teraz nie musimy całkować po całym zbiorze liczb rzeczywistych, a jedynie po przedziale "istnienia" gęstości
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x\cdot \left( x^{ \frac{3}{2}} +x^2\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{5}{2}} +x^3 = \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} \cdot \left[ x^{ \frac{7}{2} }\right] _{0} ^{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \left[ x^{4}\right] _{0} ^{1} = \frac{1}{7} \cdot 1^{ \frac{7}{2} } + \frac{1}{8} \cdot 1^{4} = \frac{1}{7} + \frac{1}{8} = \frac{8}{56} + \frac{7}{56} = \frac{15}{56}}\)
Bodajże jest dobrze
No to teraz wariancja i znowu zasypuję wzorami. Praktyczny wzór na wariancję:
2) \(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X = \mathbb{E}X^{2}- \left( \mathbb{E}X\right) ^{2}}\)
Korzystając ze wzoru 1) oraz zauważając, że na zmienną \(\displaystyle{ X}\) w wyrażeniu \(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2}}\) działa funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ \varphi\left( X\right) = X ^{2}}\) zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2} = \int_{\mathbb{R}} x^{2} \cdot f_{X}\left( x\right)}\) i liczymy całkę podobnie jak poprzednio:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot \left( x^{ \frac{3}{2}} +x^2\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{7}{2}} +x^4 = \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{7}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9} \cdot \left[ x^{ \frac{9}{2} }\right] _{0} ^{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \left[ x^{5}\right] _{0} ^{1} = \frac{1}{9} \cdot 1^{ \frac{9}{2} } + \frac{1}{10} \cdot 1^{5} = \frac{1}{9} + \frac{1}{10} = \frac{10}{90} + \frac{9}{90} = \frac{19}{90}}\)
I też jest to raczej git No i podstawiając do wzoru 2) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X = \mathbb{E}X^{2}- \left( \mathbb{E}X\right) ^{2} = \frac{19}{90} - \left( \frac{15}{56}\right) ^{2} = \frac{19}{90} - \frac{225}{3136} = \frac{29792}{141120} + \frac{10125}{141120} = \frac{19667}{141120} \approx 0,14}\)
I mamy wartość oczekiwaną i wariancję -- 21 gru 2013, o 16:47 --c)
Mamy wyznaczyć gęstość nowej zmiennej, ale niestety z gęstością wiele tu nie zawojujemy... Zawojować możemy co najwyżej z dystrybuantą A przecież możemy, bo ją ładnie wcześniej wyznaczyliśmy Była to dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), więc naszą zmienną \(\displaystyle{ Y= \sqrt{X} -2}\) musimy tak przekształcić, by mieć tą zmienną \(\displaystyle{ X}\) z której skorzystać możemy Robi się to wyznaczając funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ Y=f\left(X\right)=\sqrt{X} -2}\) czyli funkcję \(\displaystyle{ X=g\left(t\right)}\) i jak już ją będziemy mieli to bez problemu najpierw z definicji dystrybuanty działamy, a potem różniczkujemy i mamy gęstość
No to śmigamy funkcję odwrotną
\(\displaystyle{ \sqrt{X} -2 =X \Leftrightarrow \sqrt{X} = Y+2 \Leftrightarrow X = \left( Y+2\right) ^{2}}\)
Zatem naszą funkcją odwrotną będzie \(\displaystyle{ g\left( t\right) = \left( t+2\right) ^{2}}\)
Możemy więc podstawić to do dystrybuanty Przypomnijmy jak wyglądała:
\(\displaystyle{ F_{X}\left( x\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Jeśli wstawimy to co wyliczyliśmy, to:
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = F_{X}\left(\left( x+2\right) ^{2}\right)}\)
I możemy skorzystać wtedy z dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ X}\), czyli z czegoś, czym dysponujemy Wstawiamy więc
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = F_{X}\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) ^{3} }+\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) ^{2}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Czyli po "skomplikowanych" wyliczeniach:
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}+ \left( x+2\right) ^{4}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Mam nadzieję, że nie dziwi Cię, fakt niezmieniania się liczb w pierwszej i trzeciej części klamry, tworzącej wzór
Teraz żeby poznać gęstość, zróżniczkujemy sobie tę dystrybuantę, bo jak już wspomniałem gęstość jest pochodną dystrybuanty Zauważmy, że różniczkując \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) otrzymamy zero, jako pochodną stałej Więc już widać, że na przedziale \(\displaystyle{ \left( -\infty, 0\right) \cup \left( 1, +\infty\right)}\) nasza gęstość wynosi okrąglutkie \(\displaystyle{ 0}\) Różniczkujemy więc nasz środek klamry po iksie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}+ \left( x+2\right) ^{4}\right)\right)' = \left( \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}\right)' + \left( \left( x+2\right) ^{4}\right)\right)' = \frac{3}{2} \left( x+2\right) ^{2} + 4 \left( x+2\right) ^{3}}\)
Oczywiście nie zapomniałem, że jest tu pochodna złożenia funkcji, nie piszę nic, bo pochodna funkcji wewnętrznej wynosi jeden
Możemy więc zapisać gęstość, która wygląda następująco:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\begin{cases} \frac{3}{2} \left( x+2\right) ^{2} + 4 \left( x+2\right) ^{3} &\text{ dla } x \in \left\langle 0,1 \right\rangle\\0 &\text{ dla } x\not\in \left\langle 0,1 \right\rangle \end{cases}}\)
I zadanko rozpykane calutkie
Całka z gęstości to dystrybuanta, a pochodna dystrybuanty to gęstość
Zaraz z tego skorzystamy, ale najpierw zauważmy jedną rzecz, a mianowicie to, że jeżeli funkcja gęstości jest dana klamrowo i zeruje się na przedziale \(\displaystyle{ x\notin \left\langle 0,1\right\rangle}\) to można powiedzieć, że na tym przedziale nie istnieje (tak tylko dla siebie ). Skoro gęstość jest pochodną dystrybuanty, to jakie liczby mogliśmy mieć żeby otrzymać z nich pochodną równą zero? Musiały to być jakieś stałe, prawda? Ale że dystrybuanta musi być ciągła i w \(\displaystyle{ -\infty}\) mieć granicę \(\displaystyle{ 0}\) oraz w \(\displaystyle{ +\infty}\) mieć granicę \(\displaystyle{ 1}\) to to są właśnie wartości naszej dystrybuanty odpowiednio dla \(\displaystyle{ x\in\left( -\infty, 0\right)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in\left( 1, +\infty\right)}\) Więc możemy już napisać to co wiemy od razu odnośnie dystrybuanty, bez obliczeń, a jedynie korzystając z jej logicznych własności:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \int c \sqrt{x} +x \mbox{d}x \hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 \hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Widzimy więc jaką całeczkę mamy do policzenia no to jedziemy!
\(\displaystyle{ \int c \sqrt{x} +x \mbox{d}x = \int c \sqrt{x} \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c\int \sqrt{x} \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c \int x^{ \frac{1}{2} } \mbox{d}x + \int x \mbox{d}x = c \cdot \frac{2}{3} \cdot x ^{ \frac{3}{2} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{2c}{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = F\left( x\right)}\)
I teraz wiedząc, że dystrybuanta musi być funkcją ciągłą (prawostronnie lub lewostronnie, to się zmieniło jakiś czas temu, ale nieważne, ma być ogólnie ciągła) zatem granica naszego wyrażenia ma być równa \(\displaystyle{ 0}\) prawostronnie w zerze, oraz \(\displaystyle{ 1}\) lewostronnie w jedynce Ale, że te wartości są przyjmowane (mamy bowiem przedział obustronnie domknięty), to możemy wstawić te argumenty
\(\displaystyle{ F\left( 0\right) =0 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} \sqrt{0 ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot 0 ^{2} = 0 \Leftrightarrow 0=0}\)
Czyli w zerze zeruje się dla każdego \(\displaystyle{ c\in \mathbb{R}}\) więc ogólnie lipka, nic się nie wyjaśniło... To popróbujemy z wartością w jedynce
\(\displaystyle{ F\left( 1\right) =1 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} \sqrt{1 ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} =1 \Leftrightarrow \frac{2c}{3} + \frac{1}{2} =1 \Leftrightarrow 4c+3=6 \Leftrightarrow 4c=3 \Leftrightarrow c= \frac{3}{4}}\)
I włala, mamy policzoną naszą stałą \(\displaystyle{ c}\)
Niby nie chcą tego od nas, ale można napisać wzór na dystrybuantę, bo wiemy już o niej prawie wszystko Podstawmy tą naszą wyliczoną stałą:
\(\displaystyle{ \frac{2\cdot \frac{3}{4} }{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{\frac{6}{4} }{3} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{6}{12} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{1}{2} \sqrt{x ^{3} } + \frac{1}{2} \cdot x ^{2} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right)}\)
Podstawiamy więc:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \begin{cases} 0 \hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) \hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 \hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
I mamy gotową dystrybuantę, prawda że piękna?
-- 18 gru 2013, o 01:10 --
Teraz podpunkt b)
Mamy następujące wzory na wartość oczekiwaną oraz wariancję w rozkładzie ciągłym, dysponując ich gęstością:
1) \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[ \varphi\left( X\right)\right] = \int_{\mathbb{R}} \varphi\left( x\right) \cdot f_{X}\left( x\right) \mbox{d}x}\)
Zauważmy tutaj, że na zmienną \(\displaystyle{ X}\) działa funkcja identycznościowa \(\displaystyle{ \varphi\left( X\right) =X}\), zatem nasz wzór w tym wypadku upraszcza się do postaci:
1*) \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{\mathbb{R}} x \cdot f_{X}\left( x\right)}\)
Mamy naszą funkcję gęstości podaną, widać na jakim przedziale ona istnieje, więc dla uproszczenia rachunków założymy, że \(\displaystyle{ x\in\left\langle 0,1\right\rangle}\) i teraz nie musimy całkować po całym zbiorze liczb rzeczywistych, a jedynie po przedziale "istnienia" gęstości
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x\cdot \left( x^{ \frac{3}{2}} +x^2\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{5}{2}} +x^3 = \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{5}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} \cdot \left[ x^{ \frac{7}{2} }\right] _{0} ^{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \left[ x^{4}\right] _{0} ^{1} = \frac{1}{7} \cdot 1^{ \frac{7}{2} } + \frac{1}{8} \cdot 1^{4} = \frac{1}{7} + \frac{1}{8} = \frac{8}{56} + \frac{7}{56} = \frac{15}{56}}\)
Bodajże jest dobrze
No to teraz wariancja i znowu zasypuję wzorami. Praktyczny wzór na wariancję:
2) \(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X = \mathbb{E}X^{2}- \left( \mathbb{E}X\right) ^{2}}\)
Korzystając ze wzoru 1) oraz zauważając, że na zmienną \(\displaystyle{ X}\) w wyrażeniu \(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2}}\) działa funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ \varphi\left( X\right) = X ^{2}}\) zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2} = \int_{\mathbb{R}} x^{2} \cdot f_{X}\left( x\right)}\) i liczymy całkę podobnie jak poprzednio:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{2} \cdot \left( x^{ \frac{3}{2}} +x^2\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{7}{2}} +x^4 = \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{ \frac{7}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{9} \cdot \left[ x^{ \frac{9}{2} }\right] _{0} ^{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \cdot \left[ x^{5}\right] _{0} ^{1} = \frac{1}{9} \cdot 1^{ \frac{9}{2} } + \frac{1}{10} \cdot 1^{5} = \frac{1}{9} + \frac{1}{10} = \frac{10}{90} + \frac{9}{90} = \frac{19}{90}}\)
I też jest to raczej git No i podstawiając do wzoru 2) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^{2} X = \mathbb{E}X^{2}- \left( \mathbb{E}X\right) ^{2} = \frac{19}{90} - \left( \frac{15}{56}\right) ^{2} = \frac{19}{90} - \frac{225}{3136} = \frac{29792}{141120} + \frac{10125}{141120} = \frac{19667}{141120} \approx 0,14}\)
I mamy wartość oczekiwaną i wariancję -- 21 gru 2013, o 16:47 --c)
Mamy wyznaczyć gęstość nowej zmiennej, ale niestety z gęstością wiele tu nie zawojujemy... Zawojować możemy co najwyżej z dystrybuantą A przecież możemy, bo ją ładnie wcześniej wyznaczyliśmy Była to dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), więc naszą zmienną \(\displaystyle{ Y= \sqrt{X} -2}\) musimy tak przekształcić, by mieć tą zmienną \(\displaystyle{ X}\) z której skorzystać możemy Robi się to wyznaczając funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ Y=f\left(X\right)=\sqrt{X} -2}\) czyli funkcję \(\displaystyle{ X=g\left(t\right)}\) i jak już ją będziemy mieli to bez problemu najpierw z definicji dystrybuanty działamy, a potem różniczkujemy i mamy gęstość
No to śmigamy funkcję odwrotną
\(\displaystyle{ \sqrt{X} -2 =X \Leftrightarrow \sqrt{X} = Y+2 \Leftrightarrow X = \left( Y+2\right) ^{2}}\)
Zatem naszą funkcją odwrotną będzie \(\displaystyle{ g\left( t\right) = \left( t+2\right) ^{2}}\)
Możemy więc podstawić to do dystrybuanty Przypomnijmy jak wyglądała:
\(\displaystyle{ F_{X}\left( x\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{x ^{3} }+x ^{2}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Jeśli wstawimy to co wyliczyliśmy, to:
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = F_{X}\left(\left( x+2\right) ^{2}\right)}\)
I możemy skorzystać wtedy z dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ X}\), czyli z czegoś, czym dysponujemy Wstawiamy więc
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = F_{X}\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( \sqrt{\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) ^{3} }+\left(\left( x+2\right) ^{2}\right) ^{2}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Czyli po "skomplikowanych" wyliczeniach:
\(\displaystyle{ F_{Y}\left( x\right) = \begin{cases} 0 &\hbox{ dla } x\in\left( -\infty, 0\right)\\ \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}+ \left( x+2\right) ^{4}\right) &\hbox{ dla } x\in\left[ 0, 1\right] \\1 &\hbox{ dla } x\in\left( 1, +\infty\right)\end{cases}}\)
Mam nadzieję, że nie dziwi Cię, fakt niezmieniania się liczb w pierwszej i trzeciej części klamry, tworzącej wzór
Teraz żeby poznać gęstość, zróżniczkujemy sobie tę dystrybuantę, bo jak już wspomniałem gęstość jest pochodną dystrybuanty Zauważmy, że różniczkując \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) otrzymamy zero, jako pochodną stałej Więc już widać, że na przedziale \(\displaystyle{ \left( -\infty, 0\right) \cup \left( 1, +\infty\right)}\) nasza gęstość wynosi okrąglutkie \(\displaystyle{ 0}\) Różniczkujemy więc nasz środek klamry po iksie:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}+ \left( x+2\right) ^{4}\right)\right)' = \left( \frac{1}{2} \left( x+2\right) ^{3}\right)' + \left( \left( x+2\right) ^{4}\right)\right)' = \frac{3}{2} \left( x+2\right) ^{2} + 4 \left( x+2\right) ^{3}}\)
Oczywiście nie zapomniałem, że jest tu pochodna złożenia funkcji, nie piszę nic, bo pochodna funkcji wewnętrznej wynosi jeden
Możemy więc zapisać gęstość, która wygląda następująco:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) =\begin{cases} \frac{3}{2} \left( x+2\right) ^{2} + 4 \left( x+2\right) ^{3} &\text{ dla } x \in \left\langle 0,1 \right\rangle\\0 &\text{ dla } x\not\in \left\langle 0,1 \right\rangle \end{cases}}\)
I zadanko rozpykane calutkie