Prawdopodobieństwo geometryczne

[latino_22]

Witam serdecznie otóż mam takie zadanie do rozwiązania:

Z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 0,1 \right\rangle}\) wybieramy losowo dwa punkty \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Dla jakich \(\displaystyle{ a\in \RR}\) prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ xy\ge a}\) jest większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

I tutaj moja prośba aby pomóc mi w rozpoczęciu tego zadania a pozostałe obliczenia się postaram wykonać sam

[szw1710]

Robimy rysunek w kwadracie \(\displaystyle{ [0,1]\times [0,1]}\). Ma on pole \(\displaystyle{ 1}\). Prawdopodobieństwem danego zdarzenia (podzbioru kwadratu) jest pole tego zbioru. Narysuj zbiór, o którym mówi Twoje zdarzenie i oblicz jego pole. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ x,y\in[0,1]}\), to dla \(\displaystyle{ a\le 0}\) mamy, że nierówność \(\displaystyle{ xy\ge a}\) jest prawdziwa zawsze, więc masz zdarzenie pewne, czyli \(\displaystyle{ a\le 0}\) spełnia warunki zadania. Ogranicz się do \(\displaystyle{ a>0}\).

[kieubass]

Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ x,y\in[0,1]}\), to dla \(\displaystyle{ a\le 0}\) mamy, że nierówność \(\displaystyle{ xy\ge a}\) jest prawdziwa zawsze, więc masz zdarzenie pewne, czyli \(\displaystyle{ a\le 0}\) spełnia warunki zadania. Ogranicz się do \(\displaystyle{ a>0}\).

Szw1710 dobrze mówi Jak już narysujesz ten kwadrat, to faktycznie widać, że dla \(\displaystyle{ a<0}\) mamy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 1}\) bo zawsze otrzymamy liczbę nieujemną, więc na bank większą od \(\displaystyle{ a}\) w tym przypadku
Drugie co możemy zauważyć, to to, że dla \(\displaystyle{ a \ge 1}\) ma zerowe prawdopodobieństwo, bo mając takie \(\displaystyle{ x,y}\) jak w zadaniu, otrzymamy maksymalnie 1, więcej się nie da za cholerkę

Drugim krokiem, który mógłby w czymś pomóc mogłoby być przekształcenie naszego warunku, tak by można było to narysować

\(\displaystyle{ xy\ge a \Leftrightarrow y \ge \frac{a}{x}}\)

Teraz ciężko to narysować, to zamiast nierówności napiszmy równość:
\(\displaystyle{ y = \frac{a}{x}}\) a następnie, jako że mamy mieć większe równe igreki, to zamalowujemy pole nad wykresem tej funkcji

Będzie to ciężkie, bo nie znamy tego \(\displaystyle{ a}\), ale skoro wiemy, że prawdopodobieństwo w modelu geometrycznym wyraża się stosunkami pól (no dobra, miar Lebesgue'a - wiemy o co chodzi :D ) to policzymy całkę :D Jaką? :D Taką:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{a}{x} \mbox{d}x = \frac{1}{2}}\)

Wiem, że miało być większe niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), ale to albo potem, albo no już dobra od razu:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{a}{x} \mbox{d}x > \frac{1}{2}}\)

Porób i zobaczymy czy idzie gładko ;)

[latino_22]

No to rysunek wyglądałby mniej więcej tak

AU

2qtwpwl.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 91 razy

Jeśli dobrze ogarniam wytłumaczenie to muszę obliczyć tylko całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{a}{x} dx > \frac{1}{2}}\)

no to mam:
\(\displaystyle{ a \int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx > \frac{1}{2}\\
a \cdot \ln|x| \Big|_0^1> \frac{1}{2}}\)

i uzyskuje:
\(\displaystyle{ a \cdot \ln 1 - a \cdot \ln 0 > \frac{1}{2}}\)
ale jeśli się nie myle to:
\(\displaystyle{ a \cdot \ln 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ a \cdot \ln 0 = - \infty}\)
i teraz nie wiem co dalej z tym fantem...

Więc jeśli byłby ktoś tak uprzejmy i napisał jak to dokończyć albo jak prawidłowo powinno wyglądać rozwiązanie to proszę o wrzucenie na forum

Z góry dziękuję

[szw1710]

Właśnie nie. Nie ma tu całki niewłaściwej. To nie jest pole pod hiperbolą, ale nad nią. Granice całkowania będą inne. Funkcja podcałkowa też. Dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) masz \(\displaystyle{ \frac{a}{x}=1}\)?

[kieubass]

Kurcze tak kombinuję i już mnie cholerka bierze, bo całka wychodzi \(\displaystyle{ -\infty}\) co przecież jest źle xD Zresztą nie wiem czemu liczyliśmy całkę, skoro mamy prawdopodobieństwo, a chcemy wyliczyć \(\displaystyle{ a}\)

Może pomyślmy logiczniej, bez rachunków...

Żeby \(\displaystyle{ xy \ge \frac{1}{2}}\) to ustalając \(\displaystyle{ x}\) musimy mieć, że \(\displaystyle{ y> \frac{a}{x}}\), prawda?

Możemy więc zapisać to co wiemy:
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1, \frac{a}{x} \le y \le 1}\)

Ale jeżeli tak mamy, to zauważmy, że musimy tak pokombinować z \(\displaystyle{ a}\), żeby zawsze otrzymać wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) w zależności od wziętego iksa Dlaczego? Bo jakbyśmy sobie narysowali, to bierzemy całe iksy z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) a pole musimy mieć \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) Zatem:

\(\displaystyle{ \frac{a}{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x=2a \Leftrightarrow a= \frac{x}{2}}\)

Zatem dla takiego \(\displaystyle{ a= \frac{x}{2}}\) będziemy mieli, że \(\displaystyle{ P\left( xy \ge a\right) = \frac{1}{2}}\)

[latino_22]

Hmm można prosić o potwierdzenie przez inna osobę czy obliczenia już są prawidłowe ?

-- 22 grudnia 2013, 14:53 --

I jednak było źle

Można by prosić o informację jaka by to było funkcja podcałkowa i granice jej całkowania ?-- 22 grudnia 2013, 14:54 --I jednak było źle

Można by prosić o informację jaka by to było funkcja podcałkowa i granice jej całkowania ?