Obliczyć P(B)

[chudiniii]

Treść:


Mając dane P(A)=0,9, P(B/A')=0,75, P(B/A)=0,95, oblicz P(B).




Proszę o rozwiązanie i napisane z czego się korzystało do rozwiązania tego zadnia. Będę wdzięczny i oczywiście dla pomocników nie będę szczędził punkcików.;p

[max]

\(\displaystyle{ P(B) = P\big((A\cap B)\cup (B - A)\big) =\\
= P\big((A\cap B)\cup (A'\cap B)\big) = P(A\cap B) + P(A'\cap B) =\\
= P(B/A)\cdot P(A) + P(B/A')\cdot P(A') =\\
= P(B/A)\cdot P(A) + P(B/A')\cdot \big(1 - P(A)\big) =\\
= 0,95\cdot 0,9 + 0,75 0,1 = 0,93}\)

Pierwsza równość - korzystamy z jednego z praw rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ B = (A\cap B) \cup (B - A)}\)
Druga równość - z następnego prawa rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ B - A = A' \cap B}\)
Następnie korzystamy z tego, że zdarzenia:
\(\displaystyle{ A\cap B}\) i \(\displaystyle{ A' \cap B}\)
wykluczają się.

Dalej wykorzystujemy przekształcony wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:
ponieważ:
\(\displaystyle{ P(B/A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}\)
to:
\(\displaystyle{ P(A\cap B) = P(B/A)\cdot P(A)}\)

I na koniec:
\(\displaystyle{ P(A') = 1 - P(A)}\)