Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową przyjmującą wartości w \(\displaystyle{ \{0,1,2,... \}}\) taką, że
- \(\displaystyle{ \Pr(X=0) = 0.8}\)
- \(\displaystyle{ \Pr(X>0) = 0.2}\)
- \(\displaystyle{ E(X|X>0)=100}\)
Jaki jest dopuszczalny zbiór wartości \(\displaystyle{ E[ \max(X-10,0)]}\)?
Mamy:
\(\displaystyle{ E[ \max(X-10,0)] = \sum_{k=11}^{\infty} k \Pr(X=k)}\)
Ponadto \(\displaystyle{ E(X|X>0)=100}\) skąd: \(\displaystyle{ E(X|X>0) = \frac{E(X)}{\Pr(X>0)}}\) czyli\(\displaystyle{ E(X) = 20}\).
Następnie
\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{k=0}^{\infty} k \Pr(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} k \Pr(X=k) = \\ \sum_{k=1}^{10} k \Pr(X=k) + \sum_{k=11}^{\infty} k \Pr(X=k) = 20}\)
Drugi element powyższej sumy jest tym czego szukam. Co możemy zatem powiedzieć o tym pierwszym elemencie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{10} k \Pr(X=k)}\) ? Da się go jakoś sprytnie oszacować?