Zbiór zdarzeń elementarnych

[tipciu]

Witajcie, nie jestem w stanie pojąć techniki rozwiązania zadania. A brzmi ono tak:

Z zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\right\}}\) tworzymy liczby czterocyfrowe, cyfry mogą się powtarzać. Jakie jest prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 2}\) wystąpi albo tylko raz, albo tylko dwa razy, a pozostałe cyfry tej liczby będą różne miedzy sobą ?

i jako technika podana jest takowa:

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=7^{4}}\) - zrozumiałe
\(\displaystyle{ A}\) - \(\displaystyle{ 2}\) wystąpi tylko raz, a pozostałe będą różne - OK
\(\displaystyle{ B}\) - \(\displaystyle{ 2}\) wystąpi dwa razy, a pozostałe różne - OK

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{4 \cdot 6!}{3! \cdot 7^{4} }}\) - NIE ROZUMIEM

Czy to nie powinna być moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) przez moc zdarzenia OMEGA? Dlaczego OMEGA przemnożona jest przez \(\displaystyle{ 3!}\) ??

a teraz jeszcze lepsze rzeczy dzieją się...

\(\displaystyle{ P(B) =\frac{ {4 \choose 2 } \cdot 6! }{4! \cdot 7^{4} }}\)

Skąd \(\displaystyle{ 4!}\) ???

pozdrawiam i propsy dla każdego, kto mi pomoże !

[mortan517]

Spokojnie, to czego do tej pory się nauczyłaś jest jak najbardziej słuszne .
Zacznijmy od początku:

Czy to nie powinna być moc zdarzenia A przez moc zdarzenia OMEGA?

Tak, i tak też jest tutaj.

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{|A|}{|\Omega|}}\)

Policzmy najpierw moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\).
Liczbę \(\displaystyle{ 2}\) możemy umieścić na \(\displaystyle{ 4}\)miejscach, na pozostałe \(\displaystyle{ 3}\) miejsca wybieramy \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 6}\) liczb (wariacje bez powtórzeń). Więc moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) wynosi:

\(\displaystyle{ |A|=4 \cdot V ^{3} _{6} = 4 \cdot \frac{6!}{(6-3)!} = 4 \cdot \frac{6!}{3!} \\ |\Omega| = 7^4}\)

Drugie analogicznie