Witam,
mam problem z następującym zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ \left( W_t\right)_{t \ge 0}}\) będzie procesem Wienera. Znajdź rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ X=3W_5-6W_4+W_3}\)
Zastanawiam się czy ma to rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0, \sqrt{30} )}\). Rozpisałam to następująco:
\(\displaystyle{ X=3\left( W_5-W_4\right) -3\left( W_4-W_3\right)-2\left( W_3-W_2\right)+2\left( W_2-W_1\right)+2W_1}\) Wiem, że każdy z tych składników ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N\left(0,1 \right)}\) zatem korzystając z \(\displaystyle{ X_1+ \cdots + X_n \sim N(0, \sigma_1^2 + \cdots + \sigma_n^2)}\) otrzymuje \(\displaystyle{ N(0, \sqrt{30} )}\).
Zatem gęstość będzie dana wzorem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi30}}\exp^{ \frac{-x^2}{2 \cdot 30} }}\)
