Warunkowa wartość oczekiwana

[mlemanon]

Witam,
chciałabym zapytać czy zachodzi poniższa równość i jeżeli tak to dlaczego?
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[ \mathb{E}\left( X|F\right) \right]^2 = \left(\mathbb{E}X \right)^2}\)

[Alef]

Na pewno zachodzi

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[ \mathb{E}\left( X|F\right) \right]^2 \le \mathbb{E}\left[ \mathb{E}\left( X^2|F\right) \right]= \mathb{E}\left[X^2\right]}\)

z nierówności Jensena i własności WWO.

[mlemanon]

fakt ten był mi potrzebny do rozwiązania zadania:

Wykazać, że :
\(\displaystyle{ Var\left[ X\right]=\mathbb{E}\left[ Var\left( X|F\right) \right+Var\left[ \mathbb{E}\left( X|F\right) \right] ]}\)
i teraz nie wiem jak mam to zrobić...

[Alef]

Łatwo pokazać, że

1. \(\displaystyle{ \mathbb{E}[Var(X|\mathcal{F})]=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X|\mathcal{F})]^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ Var[\mathbb{E}(X|\mathcal{F})]=\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|\mathcal{F})-\mathbb{E}(X)]^{2}}\)

Weź prawą stronę Twojej równości.

Skorzystaj z tego co wyżej.

Wymnóż na siłę co się da.

Z tego co wymnożysz staraj się utworzyć definicję \(\displaystyle{ Var[X]}\).

Po przekształceniach i skorzystaniu kilka razy z różnych własności WWO dostaniesz lewą stronę.

[mlemanon]

Otrzymałam takie coś:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2 + \mathbb{E} \left(\left[ \mathbb{E}X\right]^2 \right) - 4\left( \mathbb{E}X\right)^2 + 2\mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left( X|F\right) \right]^2}\)

nie jestem pewna czy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[ \mathbb{E}\left( X|F\right) \right]^2}\)
i
\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left(\left[ \mathbb{E}X\right]^2 \right)}\)
jest równe \(\displaystyle{ \left( \mathbb{E}X\right)^2}\)

[Alef]

Przy założeniu, że \(\displaystyle{ X}\) jest niezależny od \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) to tak. Jeżeli nie, to prawdziwa jest nierówność z mojego pierwszego posta w tym temacie.